Mathematics / Mathematik / Matemática

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    Algebraische Topologie
    Leider gibt es hier kein Forum für Topologie, so dass ich das Thema hier poste:

    Gibt es jemanden hier, der sich mit algebraischer Topologie auskennt? Genauer: Mit Homotopie, topologischem Grad einer Abbildung, homotopie - Invarianten und Triangulation....???

    Ich muss in meiner Arbeit den Beriff der topologischen Grades einführen. Dieser Bedarf leider einer sehr umfassenden Vorbereitung. Kann mir jemand den Begriff des topologischen Grades einmal verbal erläutern? Welche Rolle spielt in dem Zusammenhang die Triangualtion?

    Beste Grüße
    Christoph
    • 07 Apr 2007, 4:42 pm
  • Peter Addor
    Peter Addor    Group moderator
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    Re: Algebraische Topologie
    Hallo Christoph

    Ich habe erst jetzt Deine Anfrage gesehen. Ist sie noch aktuell? Wozu benötigst Du denn den Grad einer Abbildung?

    Der Grad wird definiert für eine Abbildung der n-ten Homologiegruppe der n-Sphäre auf sich selbst. Eine solche Abbildung hat immer die einfache Form f(u) = r*u. r wird dann als Grad bezeichnet. Die baryzentrische Subdivision und gewählte simpliziale Zerlegung der n-Sphäre wird natürlich wesentlich zum Beweis heran gezogen.

    Wenn Du kein Topologe bist, so erkläre mir mal, wozu Du den Grad einer Abbildung benötigst?

    Gruss,
    Peter
    • 21 Aug 2007, 06:32 am
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    Re^2: Algebraische Topologie
    Hallo Peter!

    Da meine Arbeit bis zum 14. September ruht, und ich erst dann weiter daran schreibe, überblicke ich die Frage wozu ich den topologischen Grad einer Abbildung benötige, zur Zeit nicht so genau. Aber grob gesagt benötige ich den folgenden Satz:

    If f,g: S^2--->S^2 are homotopic continous maps, then deg f= deg g.

    Das heißt wir können von vornherein uns auf n=2, d.h. die 2-Sphäre beschränken (zum Glück)!

    Du hast geschrieben:
    "Der Grad wird definiert für eine Abbildung der n-ten Homologiegruppe der n-Sphäre auf sich selbst. Eine solche Abbildung hat immer die einfache Form f(u) = r*u. r wird dann als Grad bezeichnet."

    Ist das r dabei aus der S^n-Sphäre? Oder ist das reell und die Multiplikation r*n komponentenweise erklärt?

    Allgemein schreibe ich eine Arbeit über das dynamische Verhalten meromopher (d.h. rationaler) Funktionen auf der 2-Spähre (Riemannschen Zahlenkugel) bzw. auf der dazu homöomorphen erweiterten komplexen Zahlenebene.

    Und da brauche ich für den Beweis irgendeines Satzes eben obigen Satz als Hilfssatz - genau weiß ich das wie gesagt zur Zeit nicht, da die Arbeit ruht.

    Aber wenn ich das in ein paar Wochen genau weiß, würde ich mich gerne noch einmal bei dir deswegen melden!

    Vielen Dank auch für Deine Antwort!
    Bist du Topologe? Davon scheint es wirklich wenige zu geben - ist ja auch wirklich knochentrocken das Zeug.

    Gruß Christoph
    • 21 Aug 2007, 08:04 am
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    Re^2: Algebraische Topologie
    Ich habe gerade gesehen, dass wir eine ähnliche "Vorbelastung" haben. Chaostheorie...(dynamische Systeme).
    Vielleicht kennst du das deutschsprachige Buch von W. Metzler: "Nichtlineare Dynamik und Chaos"?! Bei ihm schreibe ich meine Diplomarbeit...
    • 21 Aug 2007, 08:11 am
  • Peter Addor
    Peter Addor    Group moderator
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    Re^3: Algebraische Topologie
    Also, grundsätzlich wäre Topologie natürlich amüsanter und süffiger als diese "schmutzige" Analysis mit ihrer Epsilontik oder die Funktionentheorie, die im wesentlichen nichts neues bringt, nur alles komplizierter macht, wenn es sich nicht um reine topologische Erkenntnisse handelt.

    Ok, das wäre also gesagt ;-), aber Du hast Recht: mit algebraischer Topologie konnte ich mich nicht über Wasser halten. Seit Jahren beschäftige ich mich mit System Dynamics, eine Art unkritischer Anwendung reeller, gewöhnlicher Differentialgleichungen. Daher habe ich natürlich vieles aus der A.T. vergessen.

    Also, Du hast einen Homöomorphismus f: S2 --> S2. Dieser induziert auf der zweiten Homologiegruppe der S2 einen Gruppenhomomorphismus f*: H2(S2) --> H2(S2). Mit baryzentrischer Garstigkeit kann man nun zeigen, dass f* von der Form f*(u) = r*u ist für eine bestimmte ganze Zahl r und für alle ganzen Zahlen u. r*u ist die normale Gruppenmultiplikation auf den ganzen Zahlen. Oder die Addition? Nöö, ich denke, es handelt sich schon um die Multiplikation. r nennt man den Grad des Homöomorphismus f.

    Wenn Du jetzt also f,g: S2 --> S2 hast, so wirst Du in H2(S2) dann wohl ein kommutatives Diagramm suchen, aus dem die Behauptung folgt.

    Gruss,
    Peter
    • 21 Aug 2007, 1:57 pm
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    Re^4: Algebraische Topologie
    "baryzentrischer Garstigkeit"???
    ich dachte "baryzentrischer Subdivison"...

    melde mich nochmal in ein paar wochen!

    Gruß Christoph
    • 21 Aug 2007, 6:58 pm
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  • Peter Addor
    Peter Addor    Group moderator
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    Re^5: Algebraische Topologie
    Hallo Christoph

    Wenn die Abbildung, von der Du den topologischen Grad betrachtest, gerade die Faserung der Überlagerung ist, dann hast Du recht. Da Du von einer n-fachen Überlagerung sprichst - sagen wir p: Y --> X, ist die Faser p^(-1)(x) über jedem Punkt x von X eine diskrete Menge mit n Punkten. Ueberlagerungen werden durch die Konjugationsklassen von Untergruppen in der Fundamentalgruppe pi_1(X) klassifiziert und eine solche Ueberlagerung kann als Faserung mit diskreter Faser F=[n] aufgefasst werden.

    Falls X orientierbar und geschlossen ist, so ist Y triangulierbar, orientierbar und p hat den Abbildungsgrad +/- n.

    Gruss,
    Peter
    This post was modified on 16 Oct 2007 at 06:18 am.
    • 16 Oct 2007, 06:17 am