Mathematics / Mathematik / Matemática

Posts 1-10 of 14

Back
Next

---
(not a XING member)

Frage zu meromorphen Funktionen!
Hallo!

Das analytische Funktionen offene Abbildungen sind, die sogar gebietstreu sind, ist bekannt. Offensichtlich gilt dies auch für meromorphe Funktionen (d.h. Funktionen die analytisch bis auf Polstellen sind).

Zur Vereinfachung: Die meromorphen Funktionen sind auf der erweiterten komplexen Zahlenebene GENAU die rationalen Funktionen auf eben dieser.

FRAGE: Wie kann man die Offenheit und die Gebietstreue für meromorphe Funktionen zeigen? Bzw. wo findet man einen Beweis in der Literatur?

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Gruss Christoph
- 17 Mar 2007, 12:00 pm
--- wrote: > Hallo! > > Das analytische Funktionen offene Abbildungen sind, die sogar > gebietstreu sind, ist bekannt. Offensichtlich gilt dies auch für > meromorphe Funktionen (d.h. Funktionen die analytisch bis auf > Polstellen sind). > > Zur Vereinfachung: Die meromorphen Funktionen sind auf der > erweiterten komplexen Zahlenebene GENAU die rationalen Funktionen auf > eben dieser. > > FRAGE: Wie kann man die Offenheit und die Gebietstreue für meromorphe > Funktionen zeigen? Bzw. wo findet man einen Beweis in der Literatur? > > Für Hilfe wäre ich sehr dankbar! > > Gruss Christoph
---
(not a XING member)

Re: Frage zu meromorphen Funktionen!
Oder vielleicht geht es auch so:

Nicht konstante rationale Funktionen sind surjektiv! Und sie sind stetig. D.h. das Urbild jeder offenen Menge ist offen.

Kann mit diesen Informationen jemand zeigen, dass das Bild jeder offenen Menge offen ist?

gruss CD
- 18 Mar 2007, 4:08 pm
--- wrote: > Oder vielleicht geht es auch so: > > Nicht konstante rationale Funktionen sind surjektiv! Und sie sind > stetig. D.h. das Urbild jeder offenen Menge ist offen. > > Kann mit diesen Informationen jemand zeigen, dass das Bild jeder > offenen Menge offen ist? > > gruss CD
---
(not a XING member)

Re^2: Frage zu meromorphen Funktionen!
OK, Problem gelöst:

holomorphe Funktionen sind offen!
Beh.: Meromorphe Funktionen f sind offen.
Bew: Sei D eine offene Menge. Wir müssen zeigen: f(D) ist offen. Da f meromorph ist, existiert höchstens eine diskrete Teilmenge S(f) in D, wobei S(f) die Menge der Polstellen von f in D ist. D\S(f) ist ebenfalls offen und da f als meromorphe Funktion auf D\S(f) analytisch ist, ist f(D\S(f)) offen. Wenn aber f(D\S(f)) offen ist, so ist auch f(D)=f(D\S(f)) vereinigt mit f(S(f)) offen, was den Beweis beendet. q.e.d.
This post was modified on 19 Mar 2007 at 01:54 pm.
- 19 Mar 2007, 1:47 pm
--- wrote: > OK, Problem gelöst: > > holomorphe Funktionen sind offen! > Beh.: Meromorphe Funktionen f sind offen. > Bew: Sei D eine offene Menge. Wir müssen zeigen: f(D) ist offen. Da f > meromorph ist, existiert höchstens eine diskrete Teilmenge S(f) in D, > wobei S(f) die Menge der Polstellen von f in D ist. D\S(f) ist > ebenfalls offen und da f als meromorphe Funktion auf D\S(f) > analytisch ist, ist f(D\S(f)) offen. Wenn aber f(D\S(f)) offen ist, > so ist auch f(D)=f(D\S(f)) vereinigt mit f(S(f)) offen, was den > Beweis beendet. q.e.d.
---
(not a XING member)

Re^3: Frage zu meromorphen Funktionen!
@winfried

Danke für die Mail!

Die Exponentialfunktion z.B. oder Cotangens (pi * z) sind natürlich auf C meromrophe Funktionen aber keine rationalen... vollkommen richtig. Das besondere auf der ERWEITERTEN KOMPLEXEN ZAHLENEBENE ist aber gerade, dass meromorph und rational zusammen fällt. Denn die Exponentialfunktion z.B. oder Cotangens (pi * z) sind auf der ERWEITERTEN KOMPLEXEN ZAHLENEBENE K E I N E meromorphe Funktion. Denn diese besitzen in dem Punkt unendlich eine wesentliche Singularität und sind somit nicht meromorph!

Vielen Dank nochmals Gruss Christoph
- 19 Mar 2007, 1:52 pm
--- wrote: > @winfried > > Danke für die Mail! > > Die Exponentialfunktion z.B. oder Cotangens (pi * z) sind natürlich > auf C meromrophe Funktionen aber keine rationalen... vollkommen > richtig. Das besondere auf der ERWEITERTEN KOMPLEXEN ZAHLENEBENE ist > aber gerade, dass meromorph und rational zusammen fällt. Denn die > Exponentialfunktion z.B. oder Cotangens (pi * z) sind auf der > ERWEITERTEN KOMPLEXEN ZAHLENEBENE K E I N E meromorphe Funktion. Denn > diese besitzen in dem Punkt unendlich eine wesentliche Singularität > und sind somit nicht meromorph! > > Vielen Dank nochmals Gruss Christoph
Winfried Weber Group moderator
The company name is only visible to registered members.

Re^4: Frage zu meromorphen Funktionen!
Christoph Dötsch schrieb:
Die Exponentialfunktion z.B. oder Cotangens (pi * z) sind natürlich auf C meromrophe Funktionen aber keine rationalen... vollkommen richtig. Das besondere auf der ERWEITERTEN KOMPLEXEN ZAHLENEBENE ist aber gerade, dass meromorph und rational zusammen fällt. Denn die Exponentialfunktion z.B. oder Cotangens (pi * z) sind auf der ERWEITERTEN KOMPLEXEN ZAHLENEBENE K E I N E meromorphe Funktion. Denn diese besitzen in dem Punkt unendlich eine wesentliche Singularität und sind somit nicht meromorph!

Hallo Christoph,
folgt damit, dass die holomorphen Funktionen auf dieser "erweiterten komplexen Zahlenebene" genau die Polynomialfunktionen sind?
Eine holomorphe Funktion - ausser den konstanten Funktionen ! - hat dann sozusagen "einfache Pole" an den "Rändern'" dieser erweiterten Ebene, und das haben doch nur Polynomialfunktionen. Ist dies nicht die Aussage des "Satz von Liouville"?

LG,
Winfried
- 19 Mar 2007, 3:54 pm
Winfried Weber wrote: > Christoph Dötsch schrieb: > > Die Exponentialfunktion z.B. oder Cotangens (pi * z) sind natürlich > > auf C meromrophe Funktionen aber keine rationalen... vollkommen > > richtig. Das besondere auf der ERWEITERTEN KOMPLEXEN ZAHLENEBENE ist > > aber gerade, dass meromorph und rational zusammen fällt. Denn die > > Exponentialfunktion z.B. oder Cotangens (pi * z) sind auf der > > ERWEITERTEN KOMPLEXEN ZAHLENEBENE K E I N E meromorphe Funktion. Denn > > diese besitzen in dem Punkt unendlich eine wesentliche Singularität > > und sind somit nicht meromorph! > > > > Hallo Christoph, > folgt damit, dass die holomorphen Funktionen auf dieser "erweiterten > komplexen Zahlenebene" genau die Polynomialfunktionen sind? > Eine holomorphe Funktion - ausser den konstanten Funktionen ! - hat > dann sozusagen "einfache Pole" an den "Rändern'" dieser erweiterten > Ebene, und das haben doch nur Polynomialfunktionen. Ist dies nicht > die Aussage des "Satz von Liouville"? > > LG, > Winfried
---
(not a XING member)

Re^5: Frage zu meromorphen Funktionen!
Hallo Christoph, folgt damit, dass die holomorphen Funktionen auf dieser "erweiterten komplexen Zahlenebene" genau die Polynomialfunktionen sind? Eine holomorphe Funktion - ausser den konstanten Funktionen ! - hat dann sozusagen "einfache Pole" an den "Rändern'" dieser erweiterten Ebene, und das haben doch nur Polynomialfunktionen. Ist dies nicht die Aussage des "Satz von Liouville"?
Habe ich noch nicht drüber nachgedacht, aber wenn ich es jetzt tue, ist es ja klar:

Die Antwort lautet: Nein, die holomorphen Funktionen auf C_ sind NICHT genau die Polynomialfunktionen!

Denn:
Wenn ich ein Poylnom p auf C_ nehme, so ist das NICHT holomorph!!! Denn es hat in unendlich einen Pol der Ordnung deg(p)!

Im Übrigen wird es der Topologie von C_ nicht gerecht, von "den Rändern" zu sprechen. Es gibt ja sozusagen gar keinen Rand. Wenn man möchte kann man natürlich "unendlich" als Rand bezeichnen - ist aber nur eine Frage der Intuition. Es ist schade, dass man aus Gewohnheit den Punkt "unendlich" als einen besonderen Punkt ansieht. Denn er ist für C_ zusammen mit der chordalen Metrik ein Punkt wie jeder andere. Aber leider muss ich in meiner Arbeit mich ständig mit diesem (gewohnheitsmäßig besonderen) Punkt herumschlagen und ihn in jeder Definition extra berücksichtigen. Das kostet viel Zeit und Energie - leider.

So weit erstmal - Gruß Christoph
- 19 Mar 2007, 7:32 pm
--- wrote: > > Hallo Christoph, folgt damit, dass die holomorphen Funktionen auf > > dieser "erweiterten komplexen Zahlenebene" genau die > > Polynomialfunktionen sind? Eine holomorphe Funktion - ausser den > > konstanten Funktionen ! - hat dann sozusagen "einfache Pole" an den > > "Rändern'" dieser erweiterten Ebene, und das haben doch nur > > Polynomialfunktionen. Ist dies nicht die Aussage des "Satz von > > Liouville"? > > Habe ich noch nicht drüber nachgedacht, aber wenn ich es jetzt tue, > ist es ja klar: > > Die Antwort lautet: Nein, die holomorphen Funktionen auf C_ sind > NICHT genau die Polynomialfunktionen! > > Denn: > Wenn ich ein Poylnom p auf C_ nehme, so ist das NICHT holomorph!!! > Denn es hat in unendlich einen Pol der Ordnung deg(p)! > > Im Übrigen wird es der Topologie von C_ nicht gerecht, von "den > Rändern" zu sprechen. Es gibt ja sozusagen gar keinen Rand. Wenn man > möchte kann man natürlich "unendlich" als Rand bezeichnen - ist aber > nur eine Frage der Intuition. Es ist schade, dass man aus Gewohnheit > den Punkt "unendlich" als einen besonderen Punkt ansieht. Denn er ist > für C_ zusammen mit der chordalen Metrik ein Punkt wie jeder andere. > Aber leider muss ich in meiner Arbeit mich ständig mit diesem > (gewohnheitsmäßig besonderen) Punkt herumschlagen und ihn in jeder > Definition extra berücksichtigen. Das kostet viel Zeit und Energie - > leider. > > So weit erstmal - Gruß Christoph
---
(not a XING member)

Re^5: Frage zu meromorphen Funktionen!
@winfried: Schön, dass du verwirrt bist! :-)

"Wenn ein nichtkonstantes Polynom NICHT holomorph ist, dann wäre auch f(x) = x nicht holomorph, und dann wäre also die Identität nicht holomorph. Kann das sein?! Sollte ja wohl nicht, oder etwa doch?"

NNNNNNEEEEEEEIIIIIIINNNNNNN!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

f(x)=x ist NICHT holomorph auf C_ (erweiterte kompl. Zahlenebene)!!!!!!!!

Denn: f nimmt den Wert unendlich an im Punkt unendlich und besitzt somit einen Pol in unendlich! Und holomorphe funktionen besitzten KEINE Pole! Denn an Polstellen sind Funktionen NICHT holomorph! Also ist die Identität und jedes andere Polynom nicht holomorph in C_

Ich weis - ist gewöhnungsbedürftig.

Ich denke wir sollten erstmal klären:

1.) was ist denn Dein Definitionsbereich der meromorphen bzw. der holomorphen Funktionen :

eine offene Teilmenge von C_ (C_ ist natürlich auch offen! und somit als Definitionsbereich zugelassen!)

ps: Eine Teilmenge D von C_ heißt offen, wenn D geschnitten mit C offen ist. Und falls unendliche Element aus D ist, so muss ein r>0 existieren, so dass die Menge {z Element aus C : |z|>r } in D enthalten ist.

Eigentlich kann man aber auch einfach die topologische Definition für offene Mengen ganz normal weiter benutzen - dann halt mit der chordalen Metrik! Das bevorzuge ich!

2.) was der Wertebereich: C_ (da sind wir uns einig, denke ich)

Rüüüchtüüüch!

Zu Deinen algebralastigen Ausführungen sage ich nichts - ist mir zu zeitaufwändig... Allerdings kann man auch auf GANZ C_ meromorphe Funktionen def. und nicht nur auf C!

"was ist denn mit der "verrückten Funktion" g:C_ -> C_ ( x -> u) . Ist g meromorph?!? Nein, denn es gibt keine rationale Funktion mit f(x) = u ..."

Naja, ob diese Funktion g meromorph ist, kann man sich in der Tat aussuchen (d.h. definieren wie man möchte). Es gibt Autoren, die diese Funktion zu den rationalen und zu den meromorphen Funktionen zählen (zum Beispiel Caratheodory) Ich zähle sie nicht zu diesen, da sie meiner meinung nach nur schwer in das konzept meromorpher bzw. rationaler Funktionen passt. Aber das ist Geschmackssache.

Gruss CD

ps:schreib mal hier, dann haben alle was davon - herr algebraiker
This post was modified on 22 Mar 2007 at 01:40 pm.
- 22 Mar 2007, 1:37 pm
--- wrote: > @winfried: Schön, dass du verwirrt bist! :-) > > "Wenn ein nichtkonstantes Polynom NICHT holomorph ist, dann wäre auch > f(x) = x nicht holomorph, und dann wäre also die Identität nicht > holomorph. Kann das sein?! Sollte ja wohl nicht, oder etwa doch?" > > > NNNNNNEEEEEEEIIIIIIINNNNNNN!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! > > f(x)=x ist NICHT holomorph auf C_ (erweiterte kompl. > Zahlenebene)!!!!!!!! > > Denn: f nimmt den Wert unendlich an im Punkt unendlich und besitzt > somit einen Pol in unendlich! Und holomorphe funktionen besitzten > KEINE Pole! Denn an Polstellen sind Funktionen NICHT holomorph! Also > ist die Identität und jedes andere Polynom nicht holomorph in C_ > > Ich weis - ist gewöhnungsbedürftig. > > > Ich denke wir sollten erstmal klären: > > 1.) was ist denn Dein Definitionsbereich der meromorphen bzw. der > holomorphen Funktionen : > > eine offene Teilmenge von C_ (C_ ist natürlich auch offen! und somit > als Definitionsbereich zugelassen!) > > ps: Eine Teilmenge D von C_ heißt offen, wenn D geschnitten mit C > offen ist. Und falls unendliche Element aus D ist, so muss ein r>0 > existieren, so dass die Menge {z Element aus C : |z|>r } in D > enthalten ist. > > Eigentlich kann man aber auch einfach die topologische Definition für > offene Mengen ganz normal weiter benutzen - dann halt mit der > chordalen Metrik! Das bevorzuge ich! > > 2.) was der Wertebereich: C_ (da sind wir uns einig, denke ich) > > Rüüüchtüüüch! > > > Zu Deinen algebralastigen Ausführungen sage ich nichts - ist mir zu > zeitaufwändig... Allerdings kann man auch auf GANZ C_ meromorphe > Funktionen def. und nicht nur auf C! > > > "was ist denn mit der "verrückten Funktion" g:C_ -> C_ ( x -> u) > . Ist g meromorph?!? Nein, denn es gibt keine rationale Funktion mit > f(x) = u ..." > > Naja, ob diese Funktion g meromorph ist, kann man sich in der Tat > aussuchen (d.h. definieren wie man möchte). Es gibt Autoren, die > diese Funktion zu den rationalen und zu den meromorphen Funktionen > zählen (zum Beispiel Caratheodory) Ich zähle sie nicht zu diesen, da > sie meiner meinung nach nur schwer in das konzept meromorpher bzw. > rationaler Funktionen passt. Aber das ist Geschmackssache. > > > Gruss CD > > ps:schreib mal hier, dann haben alle was davon - herr algebraiker
Winfried Weber Group moderator
The company name is only visible to registered members.

Re^6: Frage zu meromorphen Funktionen!
Christoph: ps:schreib mal hier, dann haben alle was davon - herr algebraiker
Also gut, wenn Du der Meinung bist, dass andere auch an meinen laienhaften Gedanken (was die Funktionentheorie betrifft) teilhaben sollten:

Hallo Christoph,

ich bin etwas verwirrt und es ist etwas mehr geworden als gedacht ...

A) Du hattest geschrieben:

Nein, die holomorphen Funktionen auf C_ sind NICHT genau die Polynomialfunktionen!
wobei C_ = C +{u} mit u ist der "unendliche Punkt" auf der Riemennschen Zahlenkugel. (Oder?)

Know-How-Defizit auf meiner Seite (und VIELLEICHT auch auf Deiner (?!?)] ;-):

Wann ist denn eine Menge offen bzw. abgeschlossen, wann zusammenhängend in C_?

Ich denke, dass die einpunktige Menge {u} ein abgeschlossene, nicht offenen Menge ist in C_ (siehe weiter unten).

Denn: Wenn ich ein Poylnom p auf C_ nehme, so ist das NICHT holomorph!!! Denn es hat in unendlich einen Pol der Ordnung deg(p)!
Wenn ein nichtkonstantes Polynom NICHT holomorph ist, dann wäre auch f(x) = x nicht holomorph, und dann wäre also die Identität nicht holomorph. Kann das sein?! Sollte ja wohl nicht, oder etwa doch?

Ich denke wir sollten erstmal klären:

1.) was ist denn Dein Definitionsbereich der meromorphen bzw. der holomorphen Funktionen :

- ("weiterhin!") eine Gebiet D in C

- ein Gebiet D in C_ , allerdings dann gibt es mehrere Fragen, siehe weiter unten bei B) am Schluss.

2.) was der Wertebereich: C_ (da sind wir uns einig, denke ich)

Historischer Ausgangspunkt ist doch folgende Beobachtung:

A(D) sei die Algebra der holomorphen Funktionen f:D -> C mit D ist eine offene Menge in C

Satz:

A(D) ist ein Integritätsring genau dann, wenn D ein Gebiet ist.

FRAGE: Wenn D ein Gebiet, was ist dann der Quotientenkörper Q(D)?

Deine Antwort ist richtig :

Es gibt eine diskrete Menge S(f) in D mit:

Die Funktion f:U\S(f) -> C ist holomorph und

f hat in S(f) keine wesentliche Singularität. Diese Funktionen nennt man meromorph.

Satz:

1.) Die Menge aller meromorphen Funktionen bilden einen Körper, wenn D ein Gebiet.

2.) und zwar (das ist auch im Fall D=C nicht einfach zu beweisen!) genau den Quotientenkörper von obigen A(D).

FRAGE nun: wie kann ich diese meromorphen Funktionen "besser" beschreiben?
Dazu wurde (durch Riemann ?!) im Wertebereich [und nicht im Definitionbsbereich, so glaube ich mich zu erinnern] diese Zahlenkugel C_ eingeführt, aber der Definitionsbereich D BLEIBT weiterhin in C.

Dann hat man den Satz: sei D in C ein Gebiet

Die Algebra der meromorphen Funktionen Q(D) ist isomorph zu der Algebra der rationalen Funktionen auf D, diese bilden "trivialerweise" einen Körper, nämlich den "eindimensionalen rationalen Funktionenkörper".

B) noch was zu Deiner früher Argumentation bei: Re^2 zu den meromorphen Funktionen

.. ist f(D\S(f)) offen.
ACHTUNG: hier fehlt noch ein Argument: offen und "nicht beschränkt" in einer Umgebung von jedem x€S(f). Denn...

Wenn aber f(D\S(f)) offen ist, so ist auch f(D)=f(D\S(f)) vereinigt mit f(S(f)) offen, was den Beweis beendet. q.e.d.

ACHTUNG: f(S(f)) = {u} ist m.E. nicht offen in C_. Daher: warum muss f(D\S(f)) vereinigt mit f(S(f)) als Vereinigung einer offenen Menge mit einer abgeschlossenen, nicht-offenen Menge offen sein?

Dies ist nur deshalb so, weil : wähle mit U in D\S(f) eine "gelochte" Umgebung von x€S(f), dann ist f(U) in C (oder C_ ?!) nicht beschränkt und kommt dem Wertepunkt f(x) = {u} "beliebig" nahe. Das sollte natürlich "etwas exakter" formuliert werden, aber hoffentlich verstehst Du, was ich meine.

Falls Du den Definitionsbereich der meromophen Funktrionen ein Gebiet D aus C_ wählst (interessante Überlegung, allemal!), dann zu klären:

- was ist überhaupt ein Gebiet D in C_ , insbesondere wenn u€ D? (Offenheit, Zusammenhang)

- wie/wann ist f(u) definiert?

- welche holomophen Funktionen gibt es in C_? Vermutung: wenn {u} in D, dann nur die konstanten f:D -> C_ ( x -> c) mit c € C_ \ [u} =C?

- was ist denn mit der "verrückten Funktion" g:C_ -> C_ ( x -> u) . Ist g meromorph?!? Nein, denn es gibt keine rationale Funktion mit f(x) = u ...

Weiterhin viel Spass,

Winfried

P.S.: Ich schreib gleich noch eine Antwort zu Deinen Ausführungen
- 22 Mar 2007, 2:18 pm
Winfried Weber wrote: > > Christoph: ps:schreib mal hier, dann haben alle was davon - herr > > algebraiker > > Also gut, wenn Du der Meinung bist, dass andere auch an meinen > laienhaften Gedanken (was die Funktionentheorie betrifft) teilhaben > sollten: > > Hallo Christoph, > > ich bin etwas verwirrt und es ist etwas mehr geworden als gedacht ... > > > A) Du hattest geschrieben: > > > Nein, die holomorphen Funktionen auf C_ sind NICHT genau die > > Polynomialfunktionen! > > wobei C_ = C +{u} mit u ist der "unendliche Punkt" auf der > Riemennschen Zahlenkugel. (Oder?) > > > Know-How-Defizit auf meiner Seite (und VIELLEICHT auch auf Deiner > (?!?)] ;-): > > Wann ist denn eine Menge offen bzw. abgeschlossen, wann > zusammenhängend in C_? > > Ich denke, dass die einpunktige Menge {u} ein abgeschlossene, nicht > offenen Menge ist in C_ (siehe weiter unten). > > > > Denn: Wenn ich ein Poylnom p auf C_ nehme, so ist das NICHT > > holomorph!!! Denn es hat in unendlich einen Pol der Ordnung deg(p)! > > Wenn ein nichtkonstantes Polynom NICHT holomorph ist, dann wäre auch > f(x) = x nicht holomorph, und dann wäre also die Identität nicht > holomorph. Kann das sein?! Sollte ja wohl nicht, oder etwa doch? > > Ich denke wir sollten erstmal klären: > > 1.) was ist denn Dein Definitionsbereich der meromorphen bzw. der > holomorphen Funktionen : > > - ("weiterhin!") eine Gebiet D in C > > - ein Gebiet D in C_ , allerdings dann gibt es mehrere Fragen, > siehe weiter unten bei B) am Schluss. > > 2.) was der Wertebereich: C_ (da sind wir uns einig, denke ich) > > > > Historischer Ausgangspunkt ist doch folgende Beobachtung: > > A(D) sei die Algebra der holomorphen Funktionen f:D -> C mit D ist > eine offene Menge in C > > Satz: > > A(D) ist ein Integritätsring genau dann, wenn D ein Gebiet ist. > > FRAGE: Wenn D ein Gebiet, was ist dann der Quotientenkörper Q(D)? > > Deine Antwort ist richtig : > > Es gibt eine diskrete Menge S(f) in D mit: > > Die Funktion f:U\S(f) -> C ist holomorph und > > f hat in S(f) keine wesentliche Singularität. Diese Funktionen nennt > man meromorph. > > Satz: > > 1.) Die Menge aller meromorphen Funktionen bilden einen Körper, wenn > D ein Gebiet. > > 2.) und zwar (das ist auch im Fall D=C nicht einfach zu beweisen!) > genau den Quotientenkörper von obigen A(D). > > > > FRAGE nun: wie kann ich diese meromorphen Funktionen "besser" > beschreiben? > Dazu wurde (durch Riemann ?!) im Wertebereich [und nicht im > Definitionbsbereich, so glaube ich mich zu erinnern] diese > Zahlenkugel C_ eingeführt, aber der Definitionsbereich D BLEIBT > weiterhin in C. > > Dann hat man den Satz: sei D in C ein Gebiet > > Die Algebra der meromorphen Funktionen Q(D) ist isomorph zu der > Algebra der rationalen Funktionen auf D, diese bilden > "trivialerweise" einen Körper, nämlich den "eindimensionalen > rationalen Funktionenkörper". > > > > B) noch was zu Deiner früher Argumentation bei: Re^2 zu den > meromorphen Funktionen > > > .. ist f(D\S(f)) offen. > > ACHTUNG: hier fehlt noch ein Argument: offen und "nicht beschränkt" > in einer Umgebung von jedem x€S(f). Denn... > > > Wenn aber f(D\S(f)) offen ist, so ist auch f(D)=f(D\S(f)) vereinigt > > mit f(S(f)) offen, was den Beweis beendet. q.e.d. > > > ACHTUNG: f(S(f)) = {u} ist m.E. nicht offen in C_. Daher: warum > muss f(D\S(f)) vereinigt mit f(S(f)) als Vereinigung einer offenen > Menge mit einer abgeschlossenen, nicht-offenen Menge offen sein? > > Dies ist nur deshalb so, weil : wähle mit U in D\S(f) eine "gelochte" > Umgebung von x€S(f), dann ist f(U) in C (oder C_ ?!) nicht > beschränkt und kommt dem Wertepunkt f(x) = {u} "beliebig" nahe. Das > sollte natürlich "etwas exakter" formuliert werden, aber > hoffentlich verstehst Du, was ich meine. > > > > Falls Du den Definitionsbereich der meromophen Funktrionen ein Gebiet > D aus C_ wählst (interessante Überlegung, allemal!), dann zu klären: > > - was ist überhaupt ein Gebiet D in C_ , insbesondere wenn u€ D? > (Offenheit, Zusammenhang) > > - wie/wann ist f(u) definiert? > > - welche holomophen Funktionen gibt es in C_? Vermutung: wenn {u} in > D, dann nur die konstanten f:D -> C_ ( x -> c) mit c € C_ \ [u} =C? > > - was ist denn mit der "verrückten Funktion" g:C_ -> C_ ( x -> u) > . Ist g meromorph?!? Nein, denn es gibt keine rationale Funktion mit > f(x) = u ... > > > Weiterhin viel Spass, > > Winfried > > > P.S.: Ich schreib gleich noch eine Antwort zu Deinen Ausführungen
Winfried Weber Group moderator
The company name is only visible to registered members.

Re^6: Frage zu meromorphen Funktionen!
Christoph Dötsch schrieb:
@winfried: Schön, dass du verwirrt bist! :-) naja, ungewohnte Materie eben für mich. Aber durchaus interessant.

f(x)=x ist NICHT holomorph auf C_ (erweiterte kompl. Zahlenebene)!!!!!!!!

Denn: f nimmt den Wert unendlich an im Punkt unendlich und besitzt somit einen Pol in unendlich! Und holomorphe funktionen besitzten KEINE Pole! Denn an Polstellen sind Funktionen NICHT holomorph! Also ist die Identität und jedes andere Polynom nicht holomorph in C_

Ich weis - ist gewöhnungsbedürftig.
Ja, aber dann ist doch A(C_) , also die Algebra aller auf ganz C_ definierten holomorphen Funktionen, genau gleich den konstanten Funktionen. Ist natürlich möglich, aber dann ist diese Algebra etwas weniger interessant.

Eigentlich kann man aber auch einfach die topologische Definition für offene Mengen ganz normal weiter benutzen - dann halt mit der chordalen Metrik! Das bevorzuge ich! Diese Metrik ist mir unbekannt, aber ok, man kann nicht alles kennen..

Zu Deinen algebralastigen Ausführungen sage ich nichts - ist mir zu zeitaufwändig... Allerdings kann man auch auf GANZ C_ meromorphe Funktionen def. und nicht nur auf C!
Wenn also C_ = C + {u} und u€ D (Definitionsbereich), dann sollte f(u) definiert sein wie folgt (oder ist es anders?)

Schreibe f=g/h mit Polynomen
g(z) = a_n * z^n+ ...+a_1*z + a_0 , a_n € C\{0} ("ungleich 0")
h(z) = b_m *z^m+ ...+b_1*z + b_0, b_m € C\{0} ("ungleich 0")

Nun Fallunterscheidung:
n < m => f(u) = 0 ; u ist Nullstelle von f mit Ordnung m-n
n = m => f(u) = a_n / b_m =: c, Funktionswert ist also eine komplexe Zahl c.
n > m => f(u) = u , u ist Polstelle von f mit Ordnung n-m

Einzig bleibt zu zeigen, dass diese Definition "sinnvoll" ist, d.h. f(x) ist in x=u "holomorph fortsetzbar" oder eben meromorph oder wie immer das dann bezeichnet wird, d.h.:
Wenn {x_n} ist ein Folge in C_ mit x_n geht gegen u, dann ist limes_(x_n->u) f(x_n) = f(u), f ist holomorph in D\{u}, usw....

Zeigst Du eigentlich in Deiner Arbeit einen Satz wie:

Für jede meromorphe Funktion auf C_ gilt:
Anzahl der Nullstellen , "gezählt mit der jeweiligen Ordnung " ist gleich der "Anzahl der Polstellen, "jeweils ebenfalls gezählt mit der Polstellen-Ordnung".

Was hab ich sonst noch "davon", dass ich den Definitionsbereich von C auf C_ ausdehnen und damit
- den "reinen" Holomorpie quasi "eleminiere" (mit meinen Bezeichnungen: A(C_) = C !)
- die meromorphen Funktionen zwar einfacher beschreiben kann, aber so spannend ist nun der mit dem "Funktionenraum der auf C_ meromorphen Funktionen" identische "Körper der rationalen Funktionen in einer Variablen über den algebraisch abgeschlossenen Körper C" auch wieder nicht.
Da: Zähler und Nenner von f lassen sich einfach schreiben:
(X-c_1)* (X-c_2) * ... * (X-c_n) ; und c_i sind dann die Nullstellen bzw. Polstellen von f in C.

Gibt denn die Metrik + Analysis soviel her?!

Gruss, Winfried
- 22 Mar 2007, 3:14 pm
Winfried Weber wrote: > Christoph Dötsch schrieb: > > @winfried: Schön, dass du verwirrt bist! :-) > naja, ungewohnte Materie eben für mich. Aber durchaus interessant. > > > f(x)=x ist NICHT holomorph auf C_ (erweiterte kompl. > > Zahlenebene)!!!!!!!! > > > > Denn: f nimmt den Wert unendlich an im Punkt unendlich und besitzt > > somit einen Pol in unendlich! Und holomorphe funktionen besitzten > > KEINE Pole! Denn an Polstellen sind Funktionen NICHT holomorph! Also > > ist die Identität und jedes andere Polynom nicht holomorph in C_ > > > > Ich weis - ist gewöhnungsbedürftig. > > Ja, aber dann ist doch A(C_) , also die Algebra aller auf ganz C_ > definierten holomorphen Funktionen, genau gleich den konstanten > Funktionen. Ist natürlich möglich, aber dann ist diese Algebra etwas > weniger interessant. > > > Eigentlich kann man aber auch einfach die topologische Definition für > > offene Mengen ganz normal weiter benutzen - dann halt mit der > > chordalen Metrik! Das bevorzuge ich! > Diese Metrik ist mir unbekannt, aber ok, man kann nicht alles kennen.. > > > Zu Deinen algebralastigen Ausführungen sage ich nichts - ist mir zu > > zeitaufwändig... Allerdings kann man auch auf GANZ C_ meromorphe > > Funktionen def. und nicht nur auf C! > > Wenn also C_ = C + {u} und u€ D (Definitionsbereich), dann sollte > f(u) definiert sein wie folgt (oder ist es anders?) > > Schreibe f=g/h mit Polynomen > g(z) = a_n * z^n+ ...+a_1*z + a_0 , a_n € C\{0} ("ungleich 0") > h(z) = b_m *z^m+ ...+b_1*z + b_0, b_m € C\{0} ("ungleich 0") > > Nun Fallunterscheidung: > n < m => f(u) = 0 ; u ist Nullstelle von f mit Ordnung m-n > n = m => f(u) = a_n / b_m =: c, Funktionswert ist also eine komplexe > Zahl c. > n > m => f(u) = u , u ist Polstelle von f mit Ordnung n-m > > Einzig bleibt zu zeigen, dass diese Definition "sinnvoll" ist, d.h. > f(x) ist in x=u "holomorph fortsetzbar" oder eben meromorph oder wie > immer das dann bezeichnet wird, d.h.: > Wenn {x_n} ist ein Folge in C_ mit x_n geht gegen u, dann ist > limes_(x_n->u) f(x_n) = f(u), f ist holomorph in D\{u}, usw.... > > > Zeigst Du eigentlich in Deiner Arbeit einen Satz wie: > > Für jede meromorphe Funktion auf C_ gilt: > Anzahl der Nullstellen , "gezählt mit der jeweiligen Ordnung " ist > gleich der "Anzahl der Polstellen, "jeweils ebenfalls gezählt mit der > Polstellen-Ordnung". > > Was hab ich sonst noch "davon", dass ich den Definitionsbereich von C > auf C_ ausdehnen und damit > - den "reinen" Holomorpie quasi "eleminiere" (mit meinen > Bezeichnungen: A(C_) = C !) > - die meromorphen Funktionen zwar einfacher beschreiben kann, aber so > spannend ist nun der mit dem "Funktionenraum der auf C_ meromorphen > Funktionen" identische "Körper der rationalen Funktionen in einer > Variablen über den algebraisch abgeschlossenen Körper C" auch wieder > nicht. > Da: Zähler und Nenner von f lassen sich einfach schreiben: > (X-c_1)* (X-c_2) * ... * (X-c_n) ; und c_i sind dann die Nullstellen > bzw. Polstellen von f in C. > > Gibt denn die Metrik + Analysis soviel her?! > > > Gruss, Winfried
---
(not a XING member)

Re^7: Frage zu meromorphen Funktionen!
Nun Fallunterscheidung:
n < m => f(u) = 0 ; u ist Nullstelle von f mit Ordnung m-n
n = m => f(u) = a_n / b_m =: c, Funktionswert ist also eine komplexe Zahl c.
n > m => f(u) = u , u ist Polstelle von f mit Ordnung n-m

Rüüüchtüüüüg!

Einzig bleibt zu zeigen, dass diese Definition "sinnvoll" ist, d.h. f(x) ist in x=u "holomorph fortsetzbar" oder eben meromorph oder wie immer das dann bezeichnet wird, d.h.:
Wenn {x_n} ist ein Folge in C_ mit x_n geht gegen u, dann ist limes_(x_n->u) f(x_n) = f(u), f ist holomorph in D\{u}, usw....
Nee, mit holomorphie ist da nichts! Die Holomorphie ist auf C_ für immer verloren...
Aber man braucht sie auch nicht, wie ich gleich näher schreiben werde...

Zeigst Du eigentlich in Deiner Arbeit einen Satz wie:

Für jede meromorphe Funktion auf C_ gilt:
Anzahl der Nullstellen , "gezählt mit der jeweiligen Ordnung " ist gleich der "Anzahl der Polstellen, "jeweils ebenfalls gezählt mit der Polstellen-Ordnung".

JA! Sowas habe ich gezeigt, als ich zeigte, dass jede merom. Funkt. f auf C_ vom Grad >=1 surjektiv ist und sogar jeder Wert in C_ Grad(f) - mal angenommen wird!

Warum fragst Du?

Was hab ich sonst noch "davon", dass ich den Definitionsbereich von C auf C_ ausdehnen und damit
- den "reinen" Holomorpie quasi "eleminiere" (mit meinen Bezeichnungen: A(C_) = C !)
- die meromorphen Funktionen zwar einfacher beschreiben kann, aber so spannend ist nun der mit dem "Funktionenraum der auf C_ meromorphen Funktionen" identische "Körper der rationalen Funktionen in einer Variablen über den algebraisch abgeschlossenen Körper C" auch wieder nicht.
Da: Zähler und Nenner von f lassen sich einfach schreiben:
(X-c_1)* (X-c_2) * ... * (X-c_n) ; und c_i sind dann die Nullstellen bzw. Polstellen von f in C.

Gibt denn die Metrik + Analysis soviel her?!
HALLO! Das ist das Thema meiner Arbeit: Iteration rationaler Funktionen auf C_ ! Das gibt sehr viel her. Es geht hier darum, Selbstabbildungen auf C_ zu bekommen, so dass wir dynamische Systeme der Form (C_,Xi) haben (wobei Xi die chordale Metrik ist). Ich kann Dir gerne mal die Arbeit schicken, wenn sie fertig ist. Da werden übrigens auch all deine Fragen die dir im Zusammenhang mit C_ einfallen beantwortet.

Gruss CD
- 22 Mar 2007, 7:10 pm
--- wrote: > > Nun Fallunterscheidung: > > n < m => f(u) = 0 ; u ist Nullstelle von f mit Ordnung m-n > > n = m => f(u) = a_n / b_m =: c, Funktionswert ist also eine komplexe > > Zahl c. > > n > m => f(u) = u , u ist Polstelle von f mit Ordnung n-m > > > Rüüüchtüüüüg! > > > > Einzig bleibt zu zeigen, dass diese Definition "sinnvoll" ist, d.h. > > f(x) ist in x=u "holomorph fortsetzbar" oder eben meromorph oder wie > > immer das dann bezeichnet wird, d.h.: > > Wenn {x_n} ist ein Folge in C_ mit x_n geht gegen u, dann ist > > limes_(x_n->u) f(x_n) = f(u), f ist holomorph in D\{u}, usw.... > > Nee, mit holomorphie ist da nichts! Die Holomorphie ist auf C_ für > immer verloren... > Aber man braucht sie auch nicht, wie ich gleich näher schreiben > werde... > > > > Zeigst Du eigentlich in Deiner Arbeit einen Satz wie: > > > > Für jede meromorphe Funktion auf C_ gilt: > > Anzahl der Nullstellen , "gezählt mit der jeweiligen Ordnung " ist > > gleich der "Anzahl der Polstellen, "jeweils ebenfalls gezählt mit der > > Polstellen-Ordnung". > > > JA! Sowas habe ich gezeigt, als ich zeigte, dass jede merom. Funkt. f > auf C_ vom Grad >=1 surjektiv ist und sogar jeder Wert in C_ Grad(f) > - mal angenommen wird! > > Warum fragst Du? > > > > Was hab ich sonst noch "davon", dass ich den Definitionsbereich von C > > auf C_ ausdehnen und damit > > - den "reinen" Holomorpie quasi "eleminiere" (mit meinen > > Bezeichnungen: A(C_) = C !) > > - die meromorphen Funktionen zwar einfacher beschreiben kann, aber so > > spannend ist nun der mit dem "Funktionenraum der auf C_ meromorphen > > Funktionen" identische "Körper der rationalen Funktionen in einer > > Variablen über den algebraisch abgeschlossenen Körper C" auch wieder > > nicht. > > Da: Zähler und Nenner von f lassen sich einfach schreiben: > > (X-c_1)* (X-c_2) * ... * (X-c_n) ; und c_i sind dann die Nullstellen > > bzw. Polstellen von f in C. > > > > Gibt denn die Metrik + Analysis soviel her?! > > HALLO! Das ist das Thema meiner Arbeit: Iteration rationaler > Funktionen auf C_ ! Das gibt sehr viel her. Es geht hier darum, > Selbstabbildungen auf C_ zu bekommen, so dass wir dynamische Systeme > der Form (C_,Xi) haben (wobei Xi die chordale Metrik ist). Ich kann > Dir gerne mal die Arbeit schicken, wenn sie fertig ist. Da werden > übrigens auch all deine Fragen die dir im Zusammenhang mit C_ > einfallen beantwortet. > > Gruss CD

Back
Next