Mathematics / Mathematik / Matemática

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    Re^8: Frage zu meromorphen Funktionen!
    ps: ich bin übrigens sehr beeindruckt, mit welcher leichtigkeit du in diese thematik findest! Ich könnte das nicht. Aber die Algebra scheint hier von ihrer sehr abstrakten Warte doch einiges an Potential zu bieten, sich von dieser Seite den merom. Funkt. auf C_ zu nähern. Wenn ich auch so algebraisch bewandert wäre, würde ich mir das zunuzte machen. So muss es halt funktionentheoretisch und topologisch angegangen werden!
    • 22 Mar 2007, 7:16 pm
  • Winfried Weber
    Winfried Weber    Group moderator
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    Re^7: Frage zu meromorphen Funktionen!
    EDIT:
    Erst noch ein Nachtrag zu einem früher Artikel von Dir:

    Im Übrigen wird es der Topologie von C_ nicht gerecht, von "den Rändern" zu sprechen. Es gibt ja sozusagen gar keinen Rand.
    Dem möchte ich widersprechen:
    Wie in jedem topologischen Raum ist für JEDE Menge M in C_ der Rand R(M) definiert als Differenz:
    R(M) = {Abgeschlossene Hülle von M} minus {offene Kern von M}

    Es gilt:
    R(C) = {Abgeschlossene Hülle von C in C_} minus {offene Kern von C} = C_ \ C = {u}

    d.h. C ist offen, aber nicht abgeschlossen, und hat e i n e n Punkt als Rand.

    Wenn man möchte kann man natürlich "unendlich" als Rand bezeichnen - ist aber nur eine Frage der Intuition. Es ist schade, dass man aus Gewohnheit den Punkt "unendlich" als einen besonderen Punkt ansieht.
    Ich weiss nicht, ob dies nicht doch wenigstens ein bisschen was besonderes ist.

    EDIT: Obwohl, Du hast vollkommen recht:
    Für alle c € C gilt, wenn man "Betrag(u-c) = unendlich" definiert:
    M_c := {z€C_ mit Betrag(z-c) >0}
    => R(M_c) = {c}

    Also: " M_u = C "


    Christoph: ps:schreib mal hier, dann haben alle was davon - herr algebraiker
    Hier noch etwas mehr Algebra, die Du zumindest wissen solltest:

    Historischer Ausgangspunkt ist folgende Beobachtung:

    A(D) sei die Algebra der holomorphen Funktionen f:D -> C mit D ist eine offene Menge in C
    Satz: A(D) ist ein Integritätsring genau dann, wenn D ein Gebiet ist.

    Bei diesem Satz möchte ich auf folgende Sache aufmerksam machen:
    Links steht eine rein ALGEBRAISCHE Aussage, die nichts mit TOPOLOGIE zu tun hat.
    Rechts steht eine rein TOPOLOGISCHE Aussage, die nichts mit ALGEBRA zu tun hat.

    Diese beiden Aussagen sind aber äquivalent, man kann also feststellen:
    Mit diesem Satz wird eine Brücke zwischen zwei unterschiedlichen Gebieten der Mathematik gebaut. Ist zwar mehr ein kleiner Steg, aber immerhin.

    Ist D eine Gebiet, dann gilt genauer:
    Satz: A(D) ist ein nicht-noetherscher Bezout-Ring.

    D.h. jedes Ideal von A(D)
    - wird entweder von unendlich viele Elementen erzeugt (das ist bei einer Funktionenalgebra nichts ungewöhnliches)
    - oder wird bereits von einem Element erzeugt und ist damit ein Hauptideal.

    Es gibt also immer einen ggT von zwei Elementen, obwohl A(D) kein Euklidischer Ring ist..
    Und dies ist duchaus etwas besonders!

    zu den Definitionen:
    http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zout_domain
    http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_domain


    Christoph Dötsch schrieb:
    ps: ich bin übrigens sehr beeindruckt, mit welcher leichtigkeit du in diese thematik findest! Ich könnte das nicht. Aber die Algebra scheint hier von ihrer sehr abstrakten Warte doch einiges an Potential zu bieten, sich von dieser Seite den merom. Funkt. auf C_ zu nähern. Wenn ich auch so algebraisch bewandert wäre, würde ich mir das zunuzte machen. So muss es halt funktionentheoretisch und topologisch angegangen werden!
    Es ist immer schön zu sehen, wenn eine mathematische Aussage mal in der einen Theorie, mal in der anderen Theorie betrachtet wird, und besonders schön ist es, wenn bei beiden Techniken das Gleiche raus kommt.


    Ich denke darüber nach, ob ich Dich bitte, dass Du nach Abschluss Deine Arbeit mir zuschickst; am besten rührst Du Dich, wenn die Arbeit fertig ist.

    LG, Winfried
    This post was modified on 23 Mar 2007 at 10:32 am.
    • 23 Mar 2007, 09:24 am
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