Mathematics / Mathematik / Matemática

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    frage zur Bijektivität
    Kurze und sehr einfache Frage:

    Wenn ich eine Abbildung habe, von der ich weis, dass sie bijektiv ist, ich aber nicht extra zeigen will, dass sie bijektiv ist. Reicht es dann als Beweis für die Bijektivität aus, die Umkehrabbildung anzugeben?
    This post was modified on 08 Feb 2007 at 08:45 pm.
    • 08 Feb 2007, 8:42 pm
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    (not a XING member)
    Re^2: frage zur Bijektivität
    Ja, was Bijektivität ist, ist schon klar!!! -> surjektiv und inketiv...

    Mein Frage war: Wenn ich zur Abbildung Phi die Umkehrabbildung Phi_ angebe, und zeige das für alle z aus dem Deinitionsbereich die Verknüpfung Phi_(Phi(z)) = z ist, ob das reicht als Beweis für die Bijektivität.

    Ich habe nochmal drüber nachgedacht: Wenn Phi_(Phi(z)) = z für alle z gilt, dann ist damit die Bijektivität gezeigt.

    Allerdings würde ich gerne nur die Umkehrabbildung angeben und nicht auch noch Phi_(Phi(z)) = z zeigen...

    Naja, ich gebe sie einfach nur an... Das muß reichen!
    • 08 Feb 2007, 11:00 pm
  • Dr. Dirk Kehrwald
    Dr. Dirk Kehrwald    Premium Member   Group moderator
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    Re^3: frage zur Bijektivität
    Christoph Dötsch schrieb:
    Allerdings würde ich gerne nur die Umkehrabbildung angeben und nicht auch noch Phi_(Phi(z)) = z zeigen...
    Für meinen Geschmack ist das durchaus in Ordnung. Wenn es hier allerdings um die Diplomarbeit geht, solltest Du lieber Deinen Betreuer fragen. Er allein wird schließlich über die Note entscheiden.


    Schöne Grüße
    Dirk
    • 09 Feb 2007, 09:35 am
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  • Winfried Weber
    Winfried Weber    Group moderator
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    Re^5: frage zur Bijektivität
    Hallo Christoph,
    meine Vorredner haben schon in die richtige Richtung argumentiert.

    Christoph Dötsch schrieb:

    Mein Frage war: Wenn ich zur Abbildung Phi die Umkehrabbildung Phi_ angebe, und zeige das für alle z aus dem Deinitionsbereich die Verknüpfung Phi_(Phi(z)) = z ist, ob das reicht als Beweis für die Bijektivität.
     
    ganz allgemein:

    M, N seien Mengen, f:M -> N sei eine Funktion.
    1.) Fall : Wann ist f bijektiv?

    f ist injektiv <=>es exist. g:N -> M mit g(f(x)) = x für alle x aus M
    f ist surjektiv <=> es exist. g:N -> M mit f(g(y)) = y für alle y aus N
    f ist bijektiv <=> es exist. g:N -> M mit g(f(x)) = x für alle x aus M und f(g(y)) = y für alle y aus N. Dann ist g die Umkerabbildung von f.

    2. Fall: Wenn ich nun f und g vorgegeben sind und ich weiß irgendwie (!?) g ist Umkehrbabildung von f, dann folgt :
    g(f(x)) = x für alle x aus M und f(g(y)) = y für alle y aus N und damit f ist bijektiv (es ist ,nichts zu zeigen!)

    3. Fall: Wenn ich nun noch nichts über g weiß und ich vermute nur, dass g die Umkehrabbildung ist, muss ich
    zeigen: g(f(x)) = x für alle x aus M und f(g(y)) = y für alle y aus N

    Beispiel:

    M={0} N = {3,4}
    Phi:M-> M (0->3)
    Phi_:M-> M (3->0, 4->0)

    für alle z aus M gilt :
    Phi_(Phi(z)) = Phi_(Phi(0)) = Phi_(3) = 0 = z , aber Phi ist nur injektiv, nicht surjektiv.

    LG,
    Winfried
    • 09 Feb 2007, 09:58 am
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    Re^4: frage zur Bijektivität
    Für meinen Geschmack ist das durchaus in Ordnung. Wenn es hier allerdings um die Diplomarbeit geht, solltest Du lieber Deinen Betreuer fragen. Er allein wird schließlich über die Note entscheiden.
    Da hast du wohl recht! Habe heute das erste Kapitel abgegeben zur Korrektur - ohne Bijektivität zu zeigen.
    Wäre ja grauenhaft, wenn alles was der Riemann vor langer Zeit mal gezeigt hat, ich nochmal zeigen müßte.
    Vielen Dank für die große Hilfsbereitschaft!

    Gruss CD
    • 09 Feb 2007, 11:19 am
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    Re^5: frage zur Bijektivität
    "Nun, man kann hier sehr streng sein.
    Nehme ich z.B die Identitaet als Abbildung (wir wissen beide deren Umkehrung) von den positiven reellen Zahlen in die reellen Zahlen, so ist diese Abbildung nicht surjektiv. Der Tangens ist sicherlich nicht injektiv, aber trotzdem gibt es dazu eine Umkehrfunktion. Es lohnt sich also, wenn man ein paar Worte zur Definitions- und Wertemenge verliert."

    Ja Thomas, danke für den Hinweis. Bei meiner Frage handelt es sich allerdings um die billige stereographische Projektion. Die ist natürlich auf der ganzen erweiterten komplexen Zahlen Zahlenebene (bzw. Riemannschen Zahlenkugel) bijektiv! Und die Urbild- und Bildmengen gebe ich natürlich an... Vielleicht habe ich meine Frage einfach zu blöd gestellt.

    Gruss und Danke

    CD
    • 09 Feb 2007, 11:25 am
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    Re^6: frage zur Bijektivität
    Beispiel:
     
    M={0} N = {3,4}
    Phi:M-> M (0->3)
    Phi_:M-> M (3->0, 4->0)
     
    für alle z aus M gilt :
    Phi_(Phi(z)) = Phi_(Phi(0)) = Phi_(3) = 0 = z , aber Phi ist nur injektiv, nicht surjektiv.

    oh ja winfried! Stimmt natürlich! Man muss natürlich zeigen, das Phi_(Phi(z)) = Id auf M und Phi(Phi_(z)) = Id auf N!!!

    Werde das näachste mal nicht nur einfach überlgegen, sondern beweisen...! Danke Dir!
    • 09 Feb 2007, 11:35 am
  • Winfried Weber
    Winfried Weber    Group moderator
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    Re^7: frage zur Bijektivität
    Christoph Dötsch schrieb:
    Beispiel:
    ....
    für alle z aus M gilt :
    Phi_(Phi(z)) = Phi_(Phi(0)) = Phi_(3) = 0 = z , aber Phi ist nur injektiv, nicht surjektiv.
     
     
    oh ja winfried! Stimmt natürlich! Man muss natürlich zeigen, das Phi_(Phi(z)) = Id auf M und Phi(Phi_(z)) = Id auf N!!!
          Thomas hat es bereits ausgeführt:
    Wenn Deine Abbildung f injektiv, aber nicht surjektiv ist, dann lässt sich diese "schnell bijektiv machen":
    Definiere N' := Bild (f) in N und die Einschrânkung g' von g auf N', dann ist g' die Umkehrabbildung von f.

    Die Frage in Deinem Fall ist denke ich so:
    Wenn Deine Abbildungen Phi und Phi_ beide bijektiv sind, man weiss dies aber nicht und Du prüfst nur :
    für alle z aus M gilt : Phi_(Phi(z)) = z

    Ist dann notwendigeweise schon Phi_ die Umkehrabbildung von Phi?
    Ich denke nicht, muss aber erst noch ein Beispiel suchen...

    es sollte hoffentlich kein Problem sein parallel zu prüfen:
    für alle z aus N gilt : Phi(Phi_(z)) = z , dann bist Du auf der sicheren Seiten.

    Werde das näachste mal nicht nur einfach überlgegen, sondern beweisen...! Danke Dir! ein richtiger Beweis schützt vor Überraschungen...


    LG,
    Winfried
    • 09 Feb 2007, 2:29 pm