Mathematics / Mathematik / Matemática
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Bernd Pfützner Premium Member Group moderatorThe company name is only visible to registered members.geometrische Reihe
Hallo an alle,
was passiert, wenn man folgende Formel aufstellt?
S = \sum_i=1^\infty 10^-i - \sum_i=1^\infty-1 10^-i
(Ggf. alternativ: S = \sum_i=1^n 10^-i - \sum_i=1^n-1 10^-i)
Meine Überlegung:
Man baut zunächst die 0,111... auf, um hinterher die 0,111... wieder zu abzubauen. Aber den "letzten" Schritt beim Abbauen läßt man weg (\infty-1 bzw. n-1) und erhält dadurch eine 1, die unendlich viele Dezimalstellen hinter dem Komma stehen bleibt: 0,000...1.
Zum Vergleich:
Bei allen endlichen n (z. B. n=4) passiert folgendes: 0,1111 - 0,111 = 0,0001
Was meint Ihr dazu?
Viele Grüße
Bernd
- 05 Oct 2010, 11:47 am
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Katharina Schüller Group moderatorThe company name is only visible to registered members.Re: geometrische Reihe
Hallo Bernd,
was war unklar an dem Hinweis, du mögest dir bitte vor weiteren Diskussionen zum Thema "Unendlichkeit" die Grundlagen aus dem 1. Semester Analysis aneignen?
Wir Moderatoren empfinden diesen erneuten Versuch als gezielte Provokation von deiner Seite. Das war die letzte Warnung.
Grüße
Katharina
- 05 Oct 2010, 12:35 pm
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Bernd Pfützner Premium Member Group moderatorThe company name is only visible to registered members.
Re^2: geometrische Reihe
Hallo Katharina,
Du hattest den Thread "(über)abzählbar" geschlossen, weil sich die Diskussion vom ursprünglichen Thema entfernt hatte. Das mag aus Deiner Sicht stimmen, aus meiner Sicht ist es jedoch so, daß ich zum Verständnis eines Themas gewissermaßen jeden Stein des Gebäudes abbauen und von allen Seiten betrachten muß. Und das führt halt zu Diskussionen, die scheinbar weit ab vom Thema liegen. Nebenbei bemerkt ist es meine persönliche Art, logische Zusammenhänge verstehen zu lernen, indem ich alles, aber auch wirklich alles in Frage stelle. Ich weiß, daß das unbequem für denjenigen ist, der versucht, mir etwas zu erklären. Aber Fachbücher beantworten mir leider nicht meine Fragen. Die kann ich nur Menschen stellen.
Der Hinweis, ich solle mir erstmal die Grundlagen des ersten Semesters aneignen, ist zwar gut gemeint und durchaus vernünftig, läßt sich jedoch nicht so einfach umsetzen. Ich arbeite in Wechselschicht und habe auch sonst so allerhand um die Ohren, so daß mir einfach die Zeit fehlt, mich regelmäßig in einen Hörsaal zu setzen. Ich muß meinen eigenen Weg beschreiten, mir das Thema zu erschließen. Ich habe den Weg über dieses Mathematikforum gewählt, und wer immer mir helfen will, mag sich daran beteiligen. Das ist für jeden freiwillig. Aber Ratschläge, die darauf abzielen, mir einen bestimmten Weg vorzuschreiben, helfen mir nicht.
Dieser Thread soll sich nur mit der geometrischen Reihe beschäftigen. Er hat ausdrücklich nicht den Sinn, zu provozieren im Sinne von "auf die Nerven gehen". Er kann jedoch ggf. fachlich provozieren im Sinne von "zum Nachdenken anregen".
Also, wer mir helfen will, mag mir antworten. Wer wieder aussteigen will, steigt eben wieder aus. Und wer mir nicht helfen will, braucht dies auch nicht zu tun. Der möge sich dann aber bitte raushalten.
Danke!
Viele Grüße
Bernd
- 05 Oct 2010, 4:46 pm
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Nico Potyka(not a XING member)Re^3: geometrische Reihe
Hallo Bernd,
man kann dir nicht helfen, wenn du nicht die notwendigen Grundbegriffe kennst. Vor allem kannst du nicht erwarten, dass dir in einem Forum mehrere Jahre Schul- und Hochschulbildung erklärt werden. Wenn der Forster das Lehrbuch deiner Wahl ist, ist es nicht verwunderlich, dass viele Fragen offen bleiben, weil es eine gewisse mathematische Vorbildung voraussetzt. An deiner Stelle würde ich mit Büchern für die Oberstufe beginnen, von Peter Dörsam gibt es günstige Bücher aus der Reihe "Oberstufenmathematik leicht gemacht", die hervorragend fürs Selbststudium geeignet sind. Danach wirst du auch den Forster gewinnbringend lesen können.
Und was die Diskussion angeht, würde dir vielleicht etwas mehr Bescheidenheit gut stehen, dann würden wohl auch mehr Leute daran teilnehmen. Bevor man sich als Opfer betrachtet, macht es oft Sinn sein eigenes Verhalten zu überdenken. 90% der User hätten dich an Katharinas Stelle wahrscheinlich längst gesperrt, hier wäre vielleicht etwas mehr Respekt angemessen.
Viele Grüße,
Nico
This post was modified on 05 Oct 2010 at 05:17 pm.- 05 Oct 2010, 5:14 pm
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Katharina Schüller Group moderatorThe company name is only visible to registered members.
Re^3: geometrische Reihe
Hallo Bernd,
wir Moderatoren haben drei (!) Gründe genannt, warum der Thread geschlossen wurde. Wieviel Zeit du hast, um dich weiterzubilden, ist für die Angelegenheit hier irrelevant. Offenbar hast du genug Zeit, um zu wechselnden Tag- und Nachtzeiten Statements zu posten, die mit Sicherheit nicht ad hoc entstanden sind. Auch zu behaupten, du könnest deine Fragen nur Menschen stellen, wenn du dich offensichtlich standhaft weigerst, wenigstens eins der Bücher zu lesen, die dir diese Fragen vollumfänglich beantworten würden, macht dich hier nicht glaubwürdiger.
Die Regeln in dieser Gruppe stellen immer noch wir Moderatoren auf. Wenn dir das nicht passt, dann suche dir bitte eine andere. Das war die letzte Warnung. Schade, dass du es nicht anders verstehst.
Gruß
Katharina
- 05 Oct 2010, 5:18 pm
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Marvin MüllerThe company name is only visible to registered members.Re: geometrische Reihe
Hallo Bernd,
ich hoffe diese Diskussion verläuft nicht wie die andere...
Aber zu deiner Frage folgendes:
1) Der Ausdruck: \sum_{i=1}^{\infty-1} 10^{-i} ist nicht definiert.
2)
(Ggf. alternativ: S = \sum_i=1^n 10^-i - \sum_i=1^n-1 10^-i)
Dies ist keine äquivalente Formulierung. Es gilt im Weiteren:
\sum_{i=1}^n 10^{-i} - \sum_{i=1}^{n-1} 10^{-i} = 10^{-n}
Also:
S = \lim_{n--> \infty} (\sum_{i=1}^n 10^{-i} - \sum_{i=1}^{n-1} 10^{-i}) = \lim_{n--> \infty} 10^{-n} = 0
Jedoch oben gilt S = 0,(periode)1
Meine Überlegung:
Man baut zunächst die 0,111... auf, um hinterher die 0,111... wieder zu abzubauen. Aber den "letzten" Schritt beim Abbauen läßt man weg (\infty-1 bzw. n-1) und erhält dadurch eine 1, die unendlich viele Dezimalstellen hinter dem Komma stehen bleibt: 0,000...1.
3) Diesen "letzten" Schritt gibt es schlichtweg nicht. Die Definition von
\sum_{i=1}^\infty a_i besagt anschaulich, dass man sich anschaut, was \sum_{i=1}^n a_i ergibt, wenn man nicht nur bis n aufsummiert, sondern niemals aufhört. Deshalb ergibt der Ausdruck \sum_{i=1}^{\infty - 1} a_i auch keinen Sinn.
Zum Vergleich:
Bei allen endlichen n (z. B. n=4) passiert folgendes: 0,1111 - 0,111 = 0,0001
Genau, hier siehst du auch, dass der "Abstand" |10^{-n} - 0 | gegen 0 geht für n geht gegen unendlich.....
Edit:
Das Thema Reihen wird im Allgemeinen erst gegen Ende der Analysis I gelesen. Das heißt die Studierenden haben sich schon intensiv u.a. mit den Themen: natürliche Zahlen, reelle Zahlen und Konvergenz außeinandergesetzt (das heißt etliche Übungsaufgaben zu dem Thema gelöst). Du hast diese Grundlagen offensichtlich nicht (siehe 1 und 3 ). Ich rate dir, dir ein gutes Analysis-Buch auszuleihen/kaufen (gut hier im Sinne von: auch für nicht-Studierende verständlich und nciht allzu abstrakt) , alles was du bisher über Mathematik weißt oder glaubst zu wissen zu vergessen und dieses Buch von Beginn an Kapitel für Kapitel durchzugehen und insbesondere die Übungsaufgaben zu den Kapiteln zu lösen. Teilweise bieten die Verfasser Lösungsskizzen auf ihren Internetseiten an. Dies wird natürlich einige Zeit in Anspruch nehmen, aber wenn du das gewissenhaft getan hast, solltest du die Grundlagen der Analysis I bedingt verstanden haben. Allerdings fehlt dann auch die individuelle Aufgabenkorrektur, d.h. du wirst nicht auf deine Fehler aufmerksam gemacht. Aber ein Selbststudium kann halt i.a.kein Studium an einer Universität ersetzen.
Viele Grüße
Marvin
Edit2: Indizes korrigiert.
This post was modified on 06 Oct 2010 at 09:11 am.- 05 Oct 2010, 5:31 pm
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Bernd Pfützner Premium Member Group moderatorThe company name is only visible to registered members.
Re^2: geometrische Reihe
Hallo Marvin,
Marvin Müller schrieb:
ich hoffe diese Diskussion verläuft nicht wie die andere...
ich werde versuchen, sie so kurz und übersichtlich wie möglich zu halten.
Aber zu deiner Frage folgendes:
1) Der Ausdruck: \sum_{i=1}^{\infty-1} 10^{-i} ist nicht definiert.
Zunächst danke, denn Du hast den Ausdruck so verstanden, wie ich ihn meinte (ich hatte nur die geschwungenen Klammern vergessen).
Wenn der Ausdruck nicht definiert ist, dann spricht doch nichts dagegen, ihn zu definieren. In Worten habe ich ja schon versucht, darzustellen, wie ich mir das vorstelle. Ggf. müßte man/ich das noch verfeinern bzw. konkretisieren.
2)
(Ggf. alternativ: S = \sum_i=1^n 10^-i - \sum_i=1^n-1 10^-i)
Dies ist keine äquivalente Formulierung.
Weshalb soll das nicht äquivalent (sprich gleichbedeutend) sein? Ob ich nun für dieses i die Werte von 1 bis n oder die Werte von 1 bis unendlich einsetze, halte ich für unerheblich. Denn für n werden natürliche Zahlen eingesetzt, und da es unendlich viele davon gibt, wird der Wert, um den es geht, immer kleiner.
Es gilt im Weiteren:
\sum_{i=1}^n 10^{-i} - \sum_{i=1}^{n-1} 10^{-i} = 10^{-n}
Also:
S = \lim_{n--> \infty} (\sum_{i=1}^n 10^{-i} - \sum_{i=1}^{n-1} 10^{-i}) = \lim_{n--> \infty} 10^{-n} = 0
Du sprichst hier den Grenzwert an. Wenn ich Wikipedia richtig verstanden habe (und so steht es zumindest auch dort, Zitat: "Eine Folge kann in der Mathematik die Eigenschaft haben, sich mit wachsendem Index immer mehr einer bestimmten Zahl anzunähern. Diese Zahl nennt man Grenzwert oder Limes der Folge." Quelle:
http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Folge%29 ), ist der Grenzwert derjenige Wert, auf den eine Folge zuläuft, aber nicht der Wert der Folge selbst.
Jedoch oben gilt S = 0,(periode)1
Willst Du damit sagen, der Ausdruck \sum_{i=1}^{\infty} 10^{-i} repräsentiert 0,(Periode)1, der Ausdruck \sum_{i=1}^n 10^{-i} jedoch nicht? Falls ja, warum?
Meine Überlegung:
Man baut zunächst die 0,111... auf, um hinterher die 0,111... wieder zu abzubauen. Aber den "letzten" Schritt beim Abbauen läßt man weg (\infty-1 bzw. n-1) und erhält dadurch eine 1, die unendlich viele Dezimalstellen hinter dem Komma stehen bleibt: 0,000...1.
3) Diesen "letzten" Schritt gibt es schlichtweg nicht.
Ich weiß, daß die Vorstellung eines "letzten" Schrittes etwas seltsam klingt bei einem unendlichen Vorgang. Es soll gewissermaßen beim Abbau ein Schritt weniger sein als beim Aufbau, während aber beide Vorgänge, also der Aufbau und der Abbau, unendlich weiterlaufen. Dabei soll eine 1 hinter dem Komma gewissermaßen über sämtliche Dezimalstellen "gejagt" werden.
Die Definition von
\sum_{i=1}^\infty a_i besagt anschaulich, dass man sich anschaut, was \sum_{i=1}^n a_i ergibt, wenn man nicht nur bis n aufsummiert, sondern niemals aufhört. Deshalb ergibt der Ausdruck \sum_{i=1}^{\infty - 1} a_i auch keinen Sinn.
Wie oben schon angesprochen soll n ja die natürlichen Zahlen repräsentieren, und da gibt es eben unendlich viele davon. Es ist also kein bestimmtes (und damit endliches) n gemeint, sondern ein immer größer werdendes n.
Zum Vergleich:
Bei allen endlichen n (z. B. n=4) passiert folgendes: 0,1111 - 0,111 = 0,0001
Genau, hier siehst du auch, dass der "Abstand" |10^{-n} - 0 | gegen 0 geht für n geht gegen unendlich.....
Das ist mir schon klar. Aber 0 selbst wird nie erreicht.
Edit:
Das Thema Reihen wird im Allgemeinen erst gegen Ende der Analysis I gelesen. Das heißt die Studierenden haben sich schon intensiv u.a. mit den Themen: natürliche Zahlen, reelle Zahlen und Konvergenz außeinandergesetzt (das heißt etliche Übungsaufgaben zu dem Thema gelöst). Du hast diese Grundlagen offensichtlich nicht
Wie gesagt, ich habe nicht studiert.
Ich rate dir, dir ein gutes Analysis-Buch auszuleihen/kaufen (gut hier im Sinne von: auch für nicht-Studierende verständlich und nciht allzu abstrakt)
Welches zum Beispiel?
alles was du bisher über Mathematik weißt oder glaubst zu wissen zu vergessen und dieses Buch von Beginn an Kapitel für Kapitel durchzugehen und insbesondere die Übungsaufgaben zu den Kapiteln zu lösen. Teilweise bieten die Verfasser Lösungsskizzen auf ihren Internetseiten an. Dies wird natürlich einige Zeit in Anspruch nehmen, aber wenn du das gewissenhaft getan hast, solltest du die Grundlagen der Analysis I bedingt verstanden haben. Allerdings fehlt dann auch die individuelle Aufgabenkorrektur, d.h. du wirst nicht auf deine Fehler aufmerksam gemacht. Aber ein Selbststudium kann halt i.a.kein Studium an einer Universität ersetzen.
Die Sache mit der fehlenden Aufgabenkorrektur ist ja genau der Grund, weshalb ich mich entschieden habe, die Thematik auf dem Wege einer Diskussion im Forum anzugehen.
Aber ich will mich nicht dagegen verschließen, trotzdem auch andere Wege zu beschreiten.
Viele Grüße
Bernd
- 07 Oct 2010, 11:34 pm
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Marvin MüllerThe company name is only visible to registered members.
Re^4: geometrische Reihe
Hallo Bernd,
Bernd Pfützner schrieb:
Aber zu deiner Frage folgendes:
1) Der Ausdruck: \sum_{i=1}^{\infty-1} 10^{-i} ist nicht definiert.
Zunächst danke, denn Du hast den Ausdruck so verstanden, wie ich ihn meinte (ich hatte nur die geschwungenen Klammern vergessen).
Wenn der Ausdruck nicht definiert ist, dann spricht doch nichts dagegen, ihn zu definieren. In Worten habe ich ja schon versucht, darzustellen, wie ich mir das vorstelle. Ggf. müßte man/ich das noch verfeinern bzw. konkretisieren.
Doch, es spricht etwas dagegen:
So wie du versuchst es zu definieren, ist dieser Ausdruck nicht wohldefiniert.
Ein Beispiel (Reihenentwicklung der Exponentialfunktion an der Stelle 1 / Zahl e):
exp(1) = e = \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{n!}
Welchen Wert soll jetzt der Ausdruck:
\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{n!} - \sum_{i=0}^{\infty - 1} \frac{1}{n!}
annehmen?
2)
(Ggf. alternativ: S = \sum_i=1^n 10^-i - \sum_i=1^n-1 10^-i)
Dies ist keine äquivalente Formulierung.
Weshalb soll das nicht äquivalent (sprich gleichbedeutend) sein? Ob ich nun für dieses i die Werte von 1 bis n oder die Werte von 1 bis unendlich einsetze, halte ich für unerheblich. Denn für n werden natürliche Zahlen eingesetzt, und da es unendlich viele davon gibt, wird der Wert, um den es geht, immer kleiner.
Ersteinmal sprichst du beim ersten vom Grenzwert (\sum_{i=1}^\infty) und bei dem anderen von Folgegliedern. Lassen wir dies mal aussen vor und betrachten beide Grenzwerte. Die sind verschieden, wie ich "im Weiteren" gezeigt habe.
Es gilt im Weiteren:
\sum_{i=1}^n 10^{-i} - \sum_{i=1}^{n-1} 10^{-i} = 10^{-n}
Also:
S = \lim_{n--> \infty} (\sum_{i=1}^n 10^{-i} - \sum_{i=1}^{n-1} 10^{-i}) = \lim_{n--> \infty} 10^{-n} = 0
Du sprichst hier den Grenzwert an. Wenn ich Wikipedia richtig verstanden habe (und so steht es zumindest auch dort, Zitat: "Eine Folge kann in der Mathematik die Eigenschaft haben, sich mit wachsendem Index immer mehr einer bestimmten Zahl anzunähern. Diese Zahl nennt man Grenzwert oder Limes der Folge." Quelle:http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Folge%29 ), ist der Grenzwert derjenige Wert, auf den eine Folge zuläuft, aber nicht der Wert der Folge selbst.
Die Folge an sich hat keinen "Wert". Aber die einzelnen Folgeglieder. Aber richtig: der Grenzwert kann von jedem Folgeglied verschieden sein, muss es aber nicht.
Jedoch oben gilt S = 0,(periode)1
Willst Du damit sagen, der Ausdruck \sum_{i=1}^{\infty} 10^{-i} repräsentiert 0,(Periode)1, der Ausdruck \sum_{i=1}^n 10^{-i} jedoch nicht? Falls ja, warum?
Richtig, denn
\sum_{i=1}^{\infty} 10^{-i} ist der Grenzwert der Reihe,
\sum_{i=1}^n 10^{-i} ist ein Folgenglied der Reihe
Meine Überlegung:
Man baut zunächst die 0,111... auf, um hinterher die 0,111... wieder zu abzubauen. Aber den "letzten" Schritt beim Abbauen läßt man weg (\infty-1 bzw. n-1) und erhält dadurch eine 1, die unendlich viele Dezimalstellen hinter dem Komma stehen bleibt: 0,000...1.
3) Diesen "letzten" Schritt gibt es schlichtweg nicht.
Ich weiß, daß die Vorstellung eines "letzten" Schrittes etwas seltsam klingt bei einem unendlichen Vorgang. Es soll gewissermaßen beim Abbau ein Schritt weniger sein als beim Aufbau, während aber beide Vorgänge, also der Aufbau und der Abbau, unendlich weiterlaufen. Dabei soll eine 1 hinter dem Komma gewissermaßen über sämtliche Dezimalstellen "gejagt" werden.
Es klingt nicht einfach nur seltsam, es ist sogar so, dass solch ein "letzter" Schritt der Definition von unendlich widerspricht. Diese besagt ja, dass es keinen letzten Schritt gibt.
Die Definition von
\sum_{i=1}^\infty a_i besagt anschaulich, dass man sich anschaut, was \sum_{i=1}^n a_i ergibt, wenn man nicht nur bis n aufsummiert, sondern niemals aufhört. Deshalb ergibt der Ausdruck \sum_{i=1}^{\infty - 1} a_i auch keinen Sinn.
Wie oben schon angesprochen soll n ja die natürlichen Zahlen repräsentieren, und da gibt es eben unendlich viele davon. Es ist also kein bestimmtes (und damit endliches) n gemeint, sondern ein immer größer werdendes n.
bei \sum_{i=1}^n a_i ist aber immer mit n stets ein beliebiges aber festes n aus \N gemeint, kein bestimmtes, aber eine natürliche Zahl.
(Der Ausdruck \sum_{i=1}^{\N} ergibt meines Erachtens überhaupt keinen Sinn, da du dort Mengen mit ihren Elementen vermischst, falls du auf etwas derartiges anspielen wolltest. Wenn du ein immer größer werdendes n aus \N betrachten willst, tust du dies mit der Grenzwertbetrachtung \sum_{i=1}^\infty ...)
Zum Vergleich:
Bei allen endlichen n (z. B. n=4) passiert folgendes: 0,1111 - 0,111 = 0,0001
Genau, hier siehst du auch, dass der "Abstand" |10^{-n} - 0 | gegen 0 geht für n geht gegen unendlich.....
Das ist mir schon klar. Aber 0 selbst wird nie erreicht.
Deswegen spricht man hier auch von Konvergenz.
Ich rate dir, dir ein gutes Analysis-Buch auszuleihen/kaufen (gut hier im Sinne von: auch für nicht-Studierende verständlich und nciht allzu abstrakt)
Welches zum Beispiel?
Ich hab damals "Analysis I" von Behrends gelesen, oder eher damit angefangen.
alles was du bisher über Mathematik weißt oder glaubst zu wissen zu vergessen und dieses Buch von Beginn an Kapitel für Kapitel durchzugehen und insbesondere die Übungsaufgaben zu den Kapiteln zu lösen. Teilweise bieten die Verfasser Lösungsskizzen auf ihren Internetseiten an. Dies wird natürlich einige Zeit in Anspruch nehmen, aber wenn du das gewissenhaft getan hast, solltest du die Grundlagen der Analysis I bedingt verstanden haben. Allerdings fehlt dann auch die individuelle Aufgabenkorrektur, d.h. du wirst nicht auf deine Fehler aufmerksam gemacht. Aber ein Selbststudium kann halt i.a.kein Studium an einer Universität ersetzen.
Die Sache mit der fehlenden Aufgabenkorrektur ist ja genau der Grund, weshalb ich mich entschieden habe, die Thematik auf dem Wege einer Diskussion im Forum anzugehen.
Aber das Lösen von Aufgaben hat doch einen anderen Sinn. Dir werden dort nicht Dinge erklärt, sondern man lernt, sich selber Wissen anzueignen, bzw. Aussagen zu beweisen oder zu widerlegen.
Aber ich will mich nicht dagegen verschließen, trotzdem auch andere Wege zu beschreiten.
Dir muss allerdings auch klar sein, dass ein Mathematikstudium einen erheblichen Zeitaufwand beihaltet. Pro Übungsblatt (d.h. pro Fach und Woche) je nach Student und Schwierigkeitsgrad der Aufgaben zwischen 10 und 20 Stunden oder mehr allein für die Bearbeitung der Aufgaben. Ich bezweifel, dass man es schafft, sich mit weniger Arbeit vergleichbares Wissen und vergleichbare Fähigkeiten anzueignen.
Viele Grüße
Marvin
- 08 Oct 2010, 2:39 pm
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Dr. Peter Horn Premium MemberThe company name is only visible to registered members.Re^5: geometrische Reihe
Hey Bernd,
das mit den Grenzwerten und den Partialsummen ist genau das Werkzeug, mit dem man um das Problem des ich-mach-das-jetzt-mal-unendlich-oft rumkommt, wenn es Sinn macht.
Aber wenn Du Dich beschäftigen willst: Rechne Deine unendliche Summe (argh, das schreibe ich nicht gerne) doch bitte einfach mal aus. Konkret. Bis zum Schluss. Dann kannst Du ja den letzten Schritt rückgängig machen. Ich vermute, dass Du nicht ganz fertig werden wirst, aber wer weiß ;)
Gruß, Peter
- 08 Oct 2010, 8:38 pm
