Mathematics / Mathematik / Matemática
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---(not a XING member)Zusammenhang von holomorphen und rationalen Funktionen
Auf Englisch kann ich das nicht fragen:
Kann mir jemand bei folgendem Problem einen Tip geben?
Betrachtet man eine holomorphe Funktion auf der erweiterten komplexen Zahlenebene, so stellt man zunächst fest, dass die erweiterte komplexe Zahlenebene homöomorph zur Riemannschen Zahlenkugel (d.h. zur zweidimensionalen Kugel im R^3) ist.
Warum kann aufgrund dieser Hmöomorphie jede holomorphe Funktion als eine rationale Funktion (d.h. eine Funktion deren Zahler ein Polynom und deren Nenner ein Polynom ist) dargestellt werden?
Wenn mir hier jemand alsbald weiterhelfen könnte, wäre ich sehr dankbar!!!
- 19 Jan 2007, 12:28 am
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---(not a XING member)
Re^2: Zusammenhang von holomorphen und rationalen Funktionen
Vielleicht ist es auch ein Übersetzungsproblem, Paul Blanchard schrieb jedenfalls in einen Paper von 1984 folgendes:
"...the riemann surface is homemorphic to the two-dimensional sphere. We shall usually use the variables z and w=1/z to represent the two standard coordiante charts on the rieman surface determined by stereographic projection. THEN ANY HOLOMORPHIC (ANALYTIC) MAP R CAN BE WRITTEN IN THE FORM
R(z)=p(z)/q(z), (1)
where p(z) and q(z) are polynomials with complex coefficients and no common factors. Hence, there is a one-to-one correspondence between rational functions (1) and holomorphic maps.
Warum ist das so?
- 19 Jan 2007, 1:05 pm
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---(not a XING member)
Re^3: Zusammenhang von holomorphen und rationalen Funktionen
@Thomas!
Vielen Dank erstmal für Deine Antwort! Also ich sehe das auch so, dass man nicht jede holomorphe Funktion als rationale Funktion darstellen kann!
Allerdings (und hier muss man streng zwischen Funktionen auf C und Funktionen auf C vereinigt mit der Menge die das Symbol unendlich enthält unterscheiden), ist doch genau dann eine stetige Funktion auf C vereinigt mit unendlich (\mathbb C\cup\{\infty\}) eine meromorphe Funktion, wenn sie eine rationale Funktion ist!
Ist das richtig?
Vielleicht kannst Du mir anhand dessen was der Blanchard geschrieben hat sagen, wie er diesen Zusammenhang mit den holomrophen Funktionen aufgrund der homöomorphie... meint?
- 19 Jan 2007, 1:12 pm
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---(not a XING member)
Re^5: Zusammenhang von holomorphen und rationalen Funktionen
@jens
nein, er meint mit riemann surface auf jeden fall die ERWEITERTE komplexe Zahlenebene (also \mathbb C\cup\{\infty\}
also er sagt - was ja jeder weis: die erw. kompl. zahlenebene ist homöomorph (durch die stereograf. proj.) zu der zweidim. Kugel im R^3. Soviel ist klar!
Er scheint unter holomorphen maps wirklich etwas anderes zu verstehen...
das es eine 1-zu-1 korrespondenz von rationalen fkt. und meromorphen fkt. auf der erw. kompl. zahlenebene gibt, das ist klar und unbestritten.
ist die frage ob er genau das meint?
Vielen dank auf jeden fall für die antworten! Sehr nett!
Übrigens hat mir Paul folgendes geschrieben:
"Hi,
This is a standard result that you can find in any number of
complex analysis texts. Holomorphic on the entire Riemann
sphere is the same thing (by definition) as meromorphic on
the entire Riemann sphere. For example, any Mobius
transformation is a holomorphic map of the Riemann sphere
(as a Riemann surface)."
- 19 Jan 2007, 6:41 pm
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---(not a XING member)
Re^6: Zusammenhang von holomorphen und rationalen Funktionen
nur noch zur Info:
Auf der Riemannschen Zahlenkugel sind meromorphe Funktionen sind nichts anderes als holomorphe! Sie sind so definiert! Man spricht von meromorphen Funktionen, wenn man besonders hervorheben möchte, dass eine holomorphe Funktion Pole besitzen darf!
Nochmals vielen Dank für die Bemühungen!
- 30 Jan 2007, 5:30 pm
