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Michael BeckerThe company name is only visible to registered members.Help: Formulation of a Subspace in IRn
Hello,
I have a question about the formulation of a subspace in IRn.
I try to formulate a hyperplane, which could describe following subspace:
I have an n-dimensional space (with xi∈(0,100) ∀ i=0,1,...n) and would like
to allocate a value to every "point" (i.e. "combinition" of xi) in this space.
I think I have to formulate a hyperplane in n+2 which represents these values.
But I could only find a definition of affine hyperplanes (a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b),
which could not be used, since the valuation hyperplane in my problem is not
necessarily "linear" in every "direction".
To simplify, I explain my problem in IR3 in the following:
I have got a plane in IR3 and would like to allocate a value to every "point" on this
plane. The definition of the hyperplane I am searching for should allow every
possiple valuation in IR+.
I tried to describe this subspace as follows:
H: (xi,xj) 1<i,j<100 --> IR
Is this description mathematically correct?
Is IR correct?
Is the expression "hyperplane" correct or should I use "subspace"?
I would really appreciate any help.
Best regards,
Michael
- 27 May 2007, 11:12 pm
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Michael BeckerThe company name is only visible to registered members.
Re^2: Help: Formulation of a Subspace in IRn
Hallo Wolfgang,
vielen Dank schon mal für Deine Hilfe!
Werde im Folgenden versuchen mein Problem etwas besser zu erläutern...
Man spricht von "Hyperflächen" (hyper surface), wenn man ein Gebilde
der Dimension n-1 im R^n hat, das aber selber nicht durch lineare
Gleichungen gegeben ist (sondern z.B. durch eine quadratische Gleichung
oder als Bildmenge einer Abbildung R^n-1 -> R^n).
--> In dem Fall benötige ich eine solche Hyperfläche...
I have an n-dimensional space (with xi∈(0,100) ∀ i=0,1,...n) and
n-dimensional mit n+1 Koordinaten? Ist das wirklich so gewollt?
(Oder sind hier baryzentrische Koordinaten o.ä. gemeint?)
Wenn Du die jede Koordinate noch mit der Nebenbedinung
versiehst, dass sie im Intervall (0,100) liegt, bekommst Du ja einen
(offenen) Würfel mit Kantenlänge 100.
--> genau, wenn ich drei Dimensionen hätte, wäre das ganze ein offener Würfel.
Ich möchte jetzt jedem der "Punkte" in dem Würfel einen Funktionswert zuweisen,
daraus folgt eine neue Dimension. Meine Funktion wäre daher in diesem Fall
4-dimensional. Und da eine Hyperfläche immer eine Dimension geringer ist als
der zugehörige Raum, müsste es eine Hyperfläche im IR5 sein (also n+2)
would like to allocate a value to every "point" (i.e. "combinition" of xi) in this space.
D.h. Du willst eine Funktion auf Deiner Menge definieren?
f : H -> R
Sollen die irgendwelche bestimmten Eigenschaften haben?
--> genau, so eine Funktion möchte ich allgemein formulieren. Sie soll keine Einschränkungen
bzgl. Stetigkeit oder Differenzierbarkeit aufweisen, es soll nur jedem "Punkt" in der Menge
eine positive reelle Zahl zugewiesen werden.
I think I have to formulate a hyperplane in n+2 which represents these values.
Das verstehe ich ehrlich gesagt nicht :-)
--> Siehe oben: Menge in Dim n, dann Hyperfläche der Dim n+1, da Funktionswerte zugewiesen werden,
und eine Hyperfäche der Dimension n+1 liegt doch im Raum der Dimension n+2...
which could not be used, since the valuation hyperplane in my problem is not necessarily "linear" in every "direction".
Was heißt hier "nicht linear in jeder Richtung"? Dass diese Hyperfläche
auch gekrümmt sein kann?
Oder hast Du Nebenbedinungen, dass z.B. manche Koordinaten nicht negativ
sein dürfen? (etwa wie oben wenn xi in (0,100) liegen muss)
--> ja genau, die Form der Hyperfäche soll nicht vorgeschrieben werden,d.h. sie kann auch gekrümmt sein,
die Funktionswerte müssen allerdings positive (>=o) reelle Zahlen sein.
Ich denke dass das ganze gar nicht so kompliziert ist (da sehr allgemein), muss ich evtl. nur
nur meine Menge M definieren und dann schreiben: f: M --> IR und das wars? (siehe Dein Vorschlag oben)
Beste Grüße aus Wales,
Michael
I
- 29 May 2007, 12:54 pm
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Dr. Norman Hilbert Premium MemberThe company name is only visible to registered members.Re^3: Help: Formulation of a Subspace in IRn
EDIT: Ist ja schon ewig her!!!! Ich lass meine Antwort trotzdem mal stehen ;-)
Ich versuche mich auch mal, allerdings ist auch mir nicht klar, was das eigentliche Ziel ist. Geht es nur darum, das ganze irgendwie mathematisch sauber zu formulieren? Wozu? ist dann wohl die große Frage, um das sinnvoll zu gestalten.
Aber ich schreib mal einfach drauf los:
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Sei M die Menge aller Punkte (x_1, ...., x_n) in R^n (also von n-Tupeln reeller Zahlen), so dass
0< x_i < b_i
für irgendwelche reellen Zahlen b_i.
Anders gesagt: M={ (x_i) \in R^n | 0< x_i<b_i }
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Geometrisch ist das einfach (im R^3) einfach ein Quader mit Seitenlänge b_i
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Weiter sei f:M ---> R eine (stetige, differenzierbare, glatte, was weiß ich) Abbildung.
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Mehr gibts dazu nicht zu sagen. Du redest davon, f als "zusätzliche Dimension" zu verstehen. Das macht natürlich gewissermaßen auch Sinn:
Sei nämlich F die Menge aller Punkte (x_1,...,x_n, x_n+1) im R^(n+1) !! so dass x_{n+1}=f( (x_1,...,x_n) ). Dann wird F (der Graph von f!, man versuche das ganze mal für R^1) unter vernünftigen Bedingungen an f (z.B. stetig) soetwas wie eine Hyperfläche sein, so wie der Graph einer Funktion eine "Hyperfläche" im R^2 ist.
Ich hoffe ich konnte etwas behilflich sein.
Viele Grüße,
Norman
This post was modified on 10 Apr 2008 at 09:42 pm.- 10 Apr 2008, 9:38 pm
