Mathematics / Mathematik / Matemática

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  Daniel Kottke

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  Mathematikaufgabe mit natürlichen Zahlen

  Hallo Mathefans,
  ich habe neulich eine Aufgabe von einem Doktor der Mathematik bekommen, an der er verzweifelt ist, bekommen. Vielleicht hat ja jemand eine Idee:
  
  Es handelt sich um den Bereich der natürlichen Zahlen. Ein Beispiel:
  natürliche Zahlen: 1, 2, ... , n , n+1, n+2, ...
  Jetzt sucht man ein n. Ich nehme für mein Beispiel n=4. Jetzt rechnet man: 4+5+6+7 .
  Wenn n=6 rechnet man: 6+7+8+9+10+11 (also hat man immer n Summanden, betehend aus den Nachfolgern von n)
  
  Als Summengleichung würde man das wiefolgt schreiben: Die Summe aus 'i' von 'i=n' bis 'n+(n-1)'. Daraus ergibt sich (3n^2 - n)/2.
  
  Ich hoffe, ich hab das einigermaßen logisch geschildert.
  
  Die Frage ist nun, für welche n ergibt sich eine Lösung, die eine Quadratzahl ist. Als Gleichung:
  
  a^2=(3n^2-n)/2
  
  Also sucht man alle 'n', bei denen 'a' Element der natürlichen Zahlen ist.
  
  Meine Frage nun:
  Gibt es dafür eine Gleichung, mit der man alle n ausrechnen kann? Es soll unendlich viele geben. Nach versuchsorientierter Rechnung mit dem PC im Intervall 0<n<20000 gibt es genau 3 Lösungen: 1,81,7921.
  Wie kann man das ohne Probieren ausrechnen?
  
  Vielen Dank für alle, die mir dabei helfen möchten.
  
  Mit freundlichen Grüßen,
  Daniel Kottke
  
  • 13 Jan 2007, 12:11 pm
  Daniel Kottke wrote: > Hallo Mathefans, > ich habe neulich eine Aufgabe von einem Doktor der Mathematik > bekommen, an der er verzweifelt ist, bekommen. Vielleicht hat ja > jemand eine Idee: > > Es handelt sich um den Bereich der natürlichen Zahlen. Ein Beispiel: > natürliche Zahlen: 1, 2, ... , n , n+1, n+2, ... > Jetzt sucht man ein n. Ich nehme für mein Beispiel n=4. Jetzt rechnet > man: 4+5+6+7 . > Wenn n=6 rechnet man: 6+7+8+9+10+11 (also hat man immer n Summanden, > betehend aus den Nachfolgern von n) > > Als Summengleichung würde man das wiefolgt schreiben: Die Summe aus > 'i' von 'i=n' bis 'n+(n-1)'. Daraus ergibt sich (3n^2 - n)/2. > > Ich hoffe, ich hab das einigermaßen logisch geschildert. > > Die Frage ist nun, für welche n ergibt sich eine Lösung, die eine > Quadratzahl ist. Als Gleichung: > > a^2=(3n^2-n)/2 > > Also sucht man alle 'n', bei denen 'a' Element der natürlichen Zahlen > ist. > > Meine Frage nun: > Gibt es dafür eine Gleichung, mit der man alle n ausrechnen kann? Es > soll unendlich viele geben. Nach versuchsorientierter Rechnung mit > dem PC im Intervall 0<n<20000 gibt es genau 3 Lösungen: 1,81,7921. > Wie kann man das ohne Probieren ausrechnen? > > Vielen Dank für alle, die mir dabei helfen möchten. > > Mit freundlichen Grüßen, > Daniel Kottke
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  Hendrik Stilke

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  Re: Mathematikaufgabe mit natürlichen Zahlen

  Hallo,
  
  die Aufgabe wird für unsereins wohl unlösbar bleiben, weil es sich um ein diophantisches Problem (ganze Zahlen sind als Lösungsmenge erlaubt) handelt. Die Darstellung mit Polynom auf beiden Seiten der Gleichung sieht mir nach einer elliptischen Gleichung aus. Hier sollte man mal nach bekannten ähnlichen Problemen gucken. Andernfalls, also falls man da nichts brauchbares findet, hat man ein ziemlich hartes Problem vor sich, weil es einer Menge Wissen in Zahlentheorie und (reiner!) Algebra braucht, um diese Dinger handhaben zu können. (Nicht umsonst werden elliptische Gleichungen zur Verschlüsselung der PINs unserer Geld- und Kreditkarten verwendet.)
  
  Viel Glück, ich jedenfalls werde keinen Gedanken an eine mögliche Lösung verschwenden, weil mir das ne
  Nummer zu hoch ist.
  
  Hendrik
  
  • 13 Jan 2007, 2:13 pm
  Hendrik Stilke wrote: > Hallo, > > die Aufgabe wird für unsereins wohl unlösbar bleiben, weil es sich um > ein diophantisches Problem (ganze Zahlen sind als Lösungsmenge > erlaubt) handelt. Die Darstellung mit Polynom auf beiden Seiten der > Gleichung sieht mir nach einer elliptischen Gleichung aus. Hier > sollte man mal nach bekannten ähnlichen Problemen gucken. > Andernfalls, also falls man da nichts brauchbares findet, hat man ein > ziemlich hartes Problem vor sich, weil es einer Menge Wissen in > Zahlentheorie und (reiner!) Algebra braucht, um diese Dinger > handhaben zu können. (Nicht umsonst werden elliptische Gleichungen > zur Verschlüsselung der PINs unserer Geld- und Kreditkarten > verwendet.) > > Viel Glück, ich jedenfalls werde keinen Gedanken an eine mögliche > Lösung verschwenden, weil mir das ne > Nummer zu hoch ist. > > Hendrik
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  Michael Gamer    Premium Member   Group moderator

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  Re: Mathematikaufgabe mit natürlichen Zahlen

  Hallo Daniel,
  
  
  Die Frage ist nun, für welche n ergibt sich eine Lösung, die eine Quadratzahl ist. Als Gleichung:
   
  a^2=(3n^2-n)/2
  Also sucht man alle 'n', bei denen 'a' Element der natürlichen Zahlen ist. so wie es aussieht handelt es sich um ein sog. bivariates System, also eine diophantische Gleichung mit zwei Variablen, die auf einem quadratischen Polynom fußen. Für solche Systeme gibt es Lösungsmöglichkeiten, allerdings bin ich da kein Fachmann. Dieses Problem (2a^2 = 3n^2-n) wird jedoch z.B. von Mathematica antandslos gelöst. Falls gewünscht sende ich Dir diese gerne zu.
  
  Viele Grüße
  
  m.g.
  
  • 21 Mar 2007, 09:59 am
  Michael Gamer wrote: > Hallo Daniel, > > > > Die Frage ist nun, für welche n ergibt sich eine Lösung, die eine > > Quadratzahl ist. Als Gleichung: > > > > a^2=(3n^2-n)/2 > > Also sucht man alle 'n', bei denen 'a' Element der natürlichen Zahlen > > ist. > so wie es aussieht handelt es sich um ein sog. bivariates System, > also eine diophantische Gleichung mit zwei Variablen, die auf einem > quadratischen Polynom fußen. Für solche Systeme gibt es > Lösungsmöglichkeiten, allerdings bin ich da kein Fachmann. Dieses > Problem (2a^2 = 3n^2-n) wird jedoch z.B. von Mathematica antandslos > gelöst. Falls gewünscht sende ich Dir diese gerne zu. > > Viele Grüße > > m.g.