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  Daniel C. Mayer

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  Group extensions / Gruppenerweiterungen

  One of my number theoretical investigations leads
  to the following purely group theoretical problem.
  
  I would like to characterize metabelian 3-groups P
  which can be extended to a non-metabelian group G of order |G| = 2|P|
  whose commutator subgroup G' is isomorphic to P, i. e.,
  
  1 --> P --> G --> C(2) --> 1 with P ~ G'.
  
  Is it possible to describe the position of these metabelian 3-groups
  on the coclass graphs G(3,r) with r > 0 ?
  
  I hope that the problem can be solved generally in form of an extension
  theorem
  with a proof probably using second or third cohomology groups.
  
  This question has been of central interest for Emil Artin in 1928 already.
  He discussed it with OttoSchreier, an expert in group theory,
  but he partially drew incorrect conclusions,
  as can be seen from his letter of Nov. 22, 1928, to Helmut Hasse.
  Finally, the investigation ended by the unexpected death of Schreier in
  1929.
  
  ********************************************************************************************
  Eines meiner zahlentheoretischen Projekte führt
  auf das folgende rein gruppentheoretische Problem:
  Ich möchte metabelsche 3-Gruppen P charakterisieren, welche
  zu einer nicht-metabelschen Gruppe G der Ordnung |G| = 2|P|
  erweitert werden können,
  deren Kommutatoruntergruppe G' isomorph zu P ist, also
  1 --> P --> G --> C(2) --> 1 mit P ~ G'.
  Am nützlichsten wäre eine genaue Angabe über die Position
  dieser metabelschen 3-Gruppen auf den Koklassen-Graphen G(3,r) mit r > 0.
  (Obwohl natürlich die Fragestellung durch den involvierten 2-Anteil
  über das eigentliche Gebiet der 3-Gruppen gewissermaßen hinausgeht.)
  
  Meine Hoffnung ist, dass dieses Problem allgemein in Form eines
  Erweiterungs-Satzes gelöst werden kann, wobei der Beweis vermutlich
  zweite oder dritte Kohomologie-Gruppen ins Spiel bringen wird.
  
  Diese Frage war übrigens schon für Emil Artin im Jahre 1928
  von zentralem Interesse. Er diskutierte sie mit dem gebürtigen Wiener
  Otto Schreier, einem Experten in der Gruppentheorie,
  zog aber fehlerhafte Schlüsse. Schließlich verlief diese Untersuchung
  im Leeren, weil sie durch den unerwarteten Tod Schreiers im Jahr 1929
  (im Alter von nur 28 Jahren !) beendet wurde.
  
  Für Hinweise bezüglich methodischer Stategien zum Angriff dieses Problems
  oder bereits bekannter (Teil-)Resultate wäre ich sehr dankbar.
  
  • 04 Jun 2011, 7:07 pm
  Daniel C. Mayer wrote: > One of my number theoretical investigations leads > to the following purely group theoretical problem. > > I would like to characterize metabelian 3-groups P > which can be extended to a non-metabelian group G of order |G| = 2|P| > whose commutator subgroup G' is isomorphic to P, i. e., > > 1 --> P --> G --> C(2) --> 1 with P ~ G'. > > Is it possible to describe the position of these metabelian 3-groups > on the coclass graphs G(3,r) with r > 0 ? > > I hope that the problem can be solved generally in form of an > extension > theorem > with a proof probably using second or third cohomology groups. > > This question has been of central interest for Emil Artin in 1928 > already. > He discussed it with OttoSchreier, an expert in group theory, > but he partially drew incorrect conclusions, > as can be seen from his letter of Nov. 22, 1928, to Helmut Hasse. > Finally, the investigation ended by the unexpected death of Schreier > in > 1929. > > ******************************************************************************************** > Eines meiner zahlentheoretischen Projekte führt > auf das folgende rein gruppentheoretische Problem: > Ich möchte metabelsche 3-Gruppen P charakterisieren, welche > zu einer nicht-metabelschen Gruppe G der Ordnung |G| = 2|P| > erweitert werden können, > deren Kommutatoruntergruppe G' isomorph zu P ist, also > 1 --> P --> G --> C(2) --> 1 mit P ~ G'. > Am nützlichsten wäre eine genaue Angabe über die Position > dieser metabelschen 3-Gruppen auf den Koklassen-Graphen G(3,r) mit r > > 0. > (Obwohl natürlich die Fragestellung durch den involvierten 2-Anteil > über das eigentliche Gebiet der 3-Gruppen gewissermaßen hinausgeht.) > > Meine Hoffnung ist, dass dieses Problem allgemein in Form eines > Erweiterungs-Satzes gelöst werden kann, wobei der Beweis vermutlich > zweite oder dritte Kohomologie-Gruppen ins Spiel bringen wird. > > Diese Frage war übrigens schon für Emil Artin im Jahre 1928 > von zentralem Interesse. Er diskutierte sie mit dem gebürtigen Wiener > Otto Schreier, einem Experten in der Gruppentheorie, > zog aber fehlerhafte Schlüsse. Schließlich verlief diese Untersuchung > im Leeren, weil sie durch den unerwarteten Tod Schreiers im Jahr 1929 > (im Alter von nur 28 Jahren !) beendet wurde. > > Für Hinweise bezüglich methodischer Stategien zum Angriff dieses > Problems > oder bereits bekannter (Teil-)Resultate wäre ich sehr dankbar.