Mathematics / Mathematik / Matemática

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  • Winfried Weber
    Winfried Weber    Group moderator
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    p-adischen Zahlen
    Hallo,

    ich habe mich im Studium mit den p-adischen Zahlen beschäftigt, aber mehr Existenz- und Eindeutigkeitssätze, als tatsächlich gerechnet. Ich hätte aber dazu ein(ig)e Frage(n).

    Man versehe den Körper der rationalen Zahlen Q mit der p-adischen Metrik.

    [ d.h.: wenn q aus Q, schreibe q = a/b *p^z mit ggT(a,b)=ggT(a,p)=ggT(b,p)=1

    n(q): = (1/p)^z ist dann ein Absolutbetrag.

    für x, y aus Q ist dann d(x,y): = n(y-x) eine Metrik, sogar eine Ultrametrik.]

    Frage: Ist Q vollständig bezüglich dieser Metrik?

    Die Antwort ist bekannt: Nein! Aber warum?

    Laut VIEWEG Mathematik Lexikon:

    Man nehme die Folge a_0:=1, a_1:=1+p, a_n: = a_(n-1)+p^n = 1+p+p^2 + ... p^(n-1)+p^n

    Behauptung VIEWEG: (a_n) ist eine Cauchy-Folge, die nicht in Q konvergiert. Daher die Motivation, Q zuvervollständigen, der vollständige Körper wird Q_p geschrieben und heisst Köprer der p-adischen Zahlen.

    Ich meine aber: (a_n) ist ein Cauchyfolge mit Grenzwert in Q, da die Folgenglieder eine Nullfoilge in Q (mit p-adischer Metrik) bilden!

    Man muss schon einen andere Cauchy-Folge nehmen. Welche?


    LG,
    Winfried

    P.S.: Ich hätte Spass, noch andere Folgen in Q zu betrachten bzw. überhaupt in Q_p zu rechnen.
    Mal sehen, wie viele sich bei dem Forum beteiligen.
    • 26 Jan 2007, 12:38 pm
  • Dr. Peter Ludwig Schroeder
    Dr. Peter Ludwig Schroeder
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    Re: p-adischen Zahlen
    Hallo Winfried,

    vorweg: bin völlig ahnungslos von den p-adischen Zahlen, fand deinen Beitrag aber interessant und habe ein wenig auf wikipedia nachgelesen. Anmerkungen zwischen deinen Zeilen:

    Winfried Weber schrieb:
    Hallo,
     
    ich habe mich im Studium mit den p-adischen Zahlen beschäftigt, aber mehr Existenz- und Eindeutigkeitssätze, als tatsächlich gerechnet. Ich hätte aber dazu ein(ig)e Frage(n).
     
    Man versehe den Körper der rationalen Zahlen Q mit der p-adischen Metrik.
     
    [ d.h.: wenn q aus Q, schreibe q = a/b *p^z mit ggT(a,b)=ggT(a,p)=ggT(b,p)=1
     
    n(q): = (1/p)^z ist dann ein Absolutbetrag.
     
    für x, y aus Q ist dann d(x,y): = n(y-x) eine Metrik, sogar eine Ultrametrik.]
    Gelernt: Ultrametrik heisst : bilden die Summanden einer Reihe eine Nullfolge, so ist die Reihe selbst eine Cauchy-Folge.
     
    Frage: Ist Q vollständig bezüglich dieser Metrik?
    Die Antwort ist bekannt: Nein! Aber warum?
     
    Laut VIEWEG Mathematik Lexikon:
    Man nehme die Folge a_0:=1, a_1:=1+p, a_n: = a_(n-1)+p^n = 1+p+p^2 + ... p^(n-1)+p^n
    norm(p^n) = 1/(p^n) -> 0 für n gegen unendlich, also wegen Ultrametrik-Eigenschaft:
    a_n ist eine Cauchy-Folge

     
    Behauptung VIEWEG: (a_n) ist eine Cauchy-Folge, die nicht in Q konvergiert. Daher die Motivation, Q zuvervollständigen, der vollständige Körper wird Q_p geschrieben und heisst Köprer der p-adischen Zahlen.
     
    Ich meine aber: (a_n) ist ein Cauchyfolge mit Grenzwert in Q, da die Folgenglieder eine Nullfoilge in Q (mit p-adischer Metrik) bilden!
    Warum hat a_n einen Grenzwert in Q mit der p-adischen Metrik? Allein aus der Cauchy-Eigenschaft folgt dass doch nur, wenn Q vollständig ist gezüglich der p-adischen Metrik, was ja wohl nicht der Fall ist.
     
    Man muss schon einen andere Cauchy-Folge nehmen. Welche?
     
    LG,
    Winfried
     
    P.S.: Ich hätte Spass, noch andere Folgen in Q zu betrachten bzw. überhaupt in Q_p zu rechnen.
    Mal sehen, wie viele sich bei dem Forum beteiligen.
    Grüße
    Peter
    • 29 Jan 2007, 9:16 pm
  • Winfried Weber
    Winfried Weber    Group moderator
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    Re^2: p-adischen Zahlen
    Hallo Peter,

    Gelernt: Ultrametrik heisst : bilden die Summanden einer Reihe eine Nullfolge, so ist die Reihe selbst eine Cauchy-Folge. Und umgekehrt: eine Reihe ist genau dann eine Cauchy-Folge, wenn die Summenglieder einen Nullolge bilden.

    Dies ist natürlich ein wesentlicher UNTERSCHIED zu Q bzw. R mit "herkömmlicher" Metrik so, z.B.:
    1+1/2+1/3+1/4 divergiert, obwohl 1/n eine Nullfolge bilden.

    Frage: Ist Q vollständig bezüglich dieser Metrik? Die Antwort ist bekannt: Nein! Aber warum?
     
    Laut VIEWEG Mathematik Lexikon: Man nehme die Folge a_0:=1, a_1:=1+p, a_n: = a_(n-1)+p^n = 1+p+p^2 + ... p^(n-1)+p^n
     
    norm(p^n) = 1/(p^n) -> 0 für n gegen unendlich, also wegen Ultrametrik-Eigenschaft:
    a_n ist eine Cauchy-Folge     Richtig.
    Es gilt norm(a_n) = max { n(1), n(p), n(p^2), ... } = max {1, 1/2, 1/3, ...} = 1
    Da heisst, die Folge a_n wandert auf dem p-adischen Einheitskreis, und zwar gegen den Grenzwert:
    g= 1/(1-p)

    Begründung:
    a_n = 1+p+p^2 + ... p^(n-1)+p^n , konvergiert in Q_p -> g
    a_n = 1 + p* [1+ p + p^2 + ... p^(n-1)+p^(n-1)] , konvegiert in Q_p -> 1+p*g
    g = 1+p*g => (1-p)* g = 1
    => g = 1/1-p

    1/1-p liegt aber schon in Q.

    Man muss daher eine andere Folge nehmen. Welche?


    Grüße,
    Winfried

    EDIT: Typo
    This post was modified on 30 Jan 2007 at 11:49 am.
    • 30 Jan 2007, 11:43 am
  • Dr. Peter Ludwig Schroeder
    Dr. Peter Ludwig Schroeder
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    Re^3: p-adischen Zahlen
    Hallo Winfried!

    Winfried Weber schrieb:
    ...
    Es gilt norm(a_n) = max { n(1), n(p), n(p^2), ... } = max {1, 1/2, 1/3, ...} = 1
    Da heisst, die Folge a_n wandert auf dem p-adischen Einheitskreis, und zwar gegen den Grenzwert:
    g= 1/(1-p)
     
    Begründung:
    a_n = 1+p+p^2 + ... p^(n-1)+p^n , konvergiert in Q_p -> g
    a_n = 1 + p* [1+ p + p^2 + ... p^(n-1)+p^(n-1)] , konvegiert in Q_p -> 1+p*g
    g = 1+p*g => (1-p)* g = 1
    => g = 1/1-p
     
    1/1-p liegt aber schon in Q.
    Die Begründung für die Konvergenz gegen 1/(1-p) verstehe ich jetzt, danke. Nicht verstanden habe ich norm(a_n)=1, aber das ist doch nicht notwendig für die Konvergenz, oder? Wäre trotzdem interessant, zu verstehen warum.

     
    Man muss daher eine andere Folge nehmen. Welche?
    Kann man in Q_p eine Folge "bauen", die gegen eine Lösung von x*x=2 konvergiert?
     
     
    Grüße,
    Winfried
     
    EDIT: Typo
    Finde das Thema spannend, aber ich habe einfach keine Gelegenheit, hier tiefer einzusteigen. Bitte daher um Nachsicht ob meiner trivialen Fragen, die ich nicht selbst erknobeln kann.

    Grüße
    Peter
    • 01 Feb 2007, 7:40 pm
  • Winfried Weber
    Winfried Weber    Group moderator
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    Re^4: p-adischen Zahlen
    Hallo Peter,


    Es gilt norm(a_n) = max { n(1), n(p), n(p^2), ... } = max {1, 1/2, 1/3, ...} = 1
     
    Die Begründung für die Konvergenz gegen 1/(1-p) verstehe ich jetzt, danke. Nicht verstanden habe ich norm(a_n)=1,     norm (p^n) = 1/n per definition
    norm (1) = 1

    => norm (a_n) = norm (1+p+p^2+... p^n) = max { n(1), n(p), n(p^2), ... } = max {1, 1/2, 1/3, ...} = 1

    Aber das ist doch nicht notwendig für die Konvergenz, oder? nein, nicht notwendig, denn z.B.
    a_n := 1+p falls n gerade
    a_n := 1+p^2 fals n ungerade

    gilt auch norm (a_n) = 1, aber die Folge ist nicht konvergent.

    Man muss daher eine andere Folge nehmen. Welche? hier ist die Lösung, die ich gefunden habe:

    Für eine Cauchyfolge a_n:=c_0 + c_1*p+ c_2 *p^2 +... + c_n *> p^n gilt:

    (a_n) konvergiert gegen eine rationale Zahl GENAU DANN, wenn die c_n sich
    schliesslich periodische wiederholen – ähnlich wie in der üblichen
    Metrik eine reelle Zahl als Dezimalbruch eine rationale Zahl genau dann
    darstellt, wenn der Dezimalbruch periodisch ist.

    Beispiel: Bei „meiner“ Folge ist c_i =1 periodisch mit Periodenlänge 1 und auch deshalb der Grenzwert in Q.


    Kann man in Q_p eine Folge "bauen", die gegen eine Lösung von x*x=2 konvergiert? gute Idee, und es folgt die Frage:

    Wann hat x*x = 2 eine Lösung in Q_p?

    wenn ja, dann hast Du eine Zahl x in Q_p \ Q gefunden wie erwünscht.

    wenn nein, dann muss man ein x in einem algebraischen Erweiterungskörper L von Q_p nehmen.


    Schau ich mir am Wochenende mal an.


    Finde das Thema spannend, aber ich habe einfach keine Gelegenheit, hier tiefer einzusteigen. Bitte daher um Nachsicht ob meiner trivialen Fragen, die ich nicht selbst erknobeln kann. kein Problem!

    Grüße
    Winfried
    This post was modified on 02 Feb 2007 at 03:33 pm.
    • 02 Feb 2007, 3:32 pm
  • Dr. Andreas Ecker
    Dr. Andreas Ecker
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    Re^5: p-adischen Zahlen
    Hallo Winfried, Hallo Peter,

    ich muss jetzt ein bisschen ausholen: in meiner Doktorarbeit konnte ich p-adische Zahlen verwenden, um fixpunktfreie Wirkungen auf abelschen p-Gruppen zu beschreiben.
    Die grobe Idee dabei war, eine Wirkung der Ordnung n mittels des n-ten Kreisteilungspolynoms zu beschreiben. Wenn die p-Gruppe auch Exponent p hat, kann man sie als F_p-Vektorraum (Vektorraum über dem Körper mit p Elementen betrachten), also das n-te Kreisteilungspolynom über F_p betrachten. Mich interessierten dabei insbesondere die irreduziblen Teiler des Polynoms.
    Als Beispiel: über Q ist
    x^4 - 1 = (x + 1) * (x - 1) * (x^2 + 1)
    Das Polynom x^2 + 1 lässt sich über Q nicht weiter zerlegen (die Lösungen wären i und -i).
    Über F_5 ist aber
    x^2 + 1 = (x + 2) * (x + 3)
    Das Polynom zerfällt also.
    Nun gibt es einen Satz von Hensel (nicht-trivial, aus einem recht alten Buch), der (grob) besagt, dass ein Polynom (mit Koeefizienten aus Z) genau
    dann über F_p zerfällt, wenn es über den p-adischen Zahlen zerfällt.
    Mit anderen Worten x^2 + 1 zerfällt über den 5-adischen Zahlen und deswegen enthalten die 5-adischen Zahlen i und -i (nämlich die Lösungen des Polynoms).

    Mit derselben Methode lässt sich zeigen, dass für bestimmte p die Wurzel aus 2 in den p-adischen Zahlen liegt.
    Das ist genau dann der Fall, wenn das Polynom x^2 - 2 über F_p zerfällt, oder mit anderen Worten, wenn 2 ein Quadrat modulo p ist (hier geht es jetzt in die Zahlentheorie, siehe Quadratische Reste).
    Zum Beispiel ist 2 kein Quadrat modulo 5, wohl aber modulo 7.
    Wenn man also nach der entsprechenden Folge sucht, dann in den 7-adischen Zahlen, nicht den 5-adischen.
    (Konstruktiv weiss ich nämlich auch nicht so richtig, wie man das anpackt.)

    Grüße,
    Andreas
    • 11 Feb 2007, 12:01 am
  • Winfried Weber
    Winfried Weber    Group moderator
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    Re^6: p-adischen Zahlen
    Hallo Andreas,
     
    Als Beispiel: ...
    Das Polynom x^2 + 1 lässt sich über Q nicht weiter zerlegen (die Lösungen wären i und -i).
    Über F_5 ist aber: x^2 + 1 = (x + 2) * (x + 3)
    Das Polynom zerfällt also.
    Nun gibt es einen Satz von Hensel (nicht-trivial, aus einem recht alten Buch), der (grob) besagt, dass ein Polynom (mit Koeefizienten aus Z) genau
    dann über F_p zerfällt, wenn es über den p-adischen Zahlen zerfällt.     Das ist das richtige Stichwort: Mit dem Henselschen Satz lässt sich allgemein zeigen:
    Die p-adischen Zahlen enthalten die p-1-ten Einheitswurzeln. Hier p=5.

    Mit anderen Worten x^2 + 1 zerfällt über den 5-adischen Zahlen und deswegen enthalten die 5-adischen Zahlen i und -i (nämlich die Lösungen des Polynoms). Richtig, allerdings ist zwischen den Zahlen i bzw. -i der komplexen Zahlen C und den Lösungen von x^2+1 in den 5-dischen Zahlen streng zu unterscheiden. Ist es erlaubt, das gleiche Symbol "i" zu verwenden?!

    Mit derselben Methode lässt sich zeigen, dass für bestimmte p die Wurzel aus 2 in den p-adischen Zahlen liegt.
    Das ist genau dann der Fall, wenn das Polynom x^2 - 2 über F_p zerfällt, oder mit anderen Worten, wenn 2 ein Quadrat modulo p ist (hier geht es jetzt in die Zahlentheorie, siehe Quadratische Reste).
    ... (Konstruktiv weiss ich nämlich auch nicht so richtig, wie man das anpackt.)
    Doch, jetzt wo Du es geschrieben hast, habe ich es (wieder-) gefunden:
    Für die konstruktive Klärung hilft das Legendre-Symbol L(a/p)
    http://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Symbol

    Das Legendresymbol verhält sich multiplikativ: L(a/p) * L(b/p) = L(a*b/p) (wegen der Rechenregeln in F_p)

    Wichtig für das Ausrechen des Symbols und damit die Klärung der Frage, ob ein Polynom x^2-a in F_p zerfällt, ist das Quadratische Reziprozitätsgesetz + Ergänzungssätze:
    p, q seien ungerade, verschiedene Primzahlen, dann gilt:
    L(p/q) * L(q/p) = (-1) ^[(p-1)/2 * (q-1)/2]
    L(2/p) = (^-1)^[(p*p-1)/8]
    L(-1/p)=(-1)^[(p-1)/2]

    Beispiele findet man auch bei wikipedia unter dem Stichwort "Quadratisches_Reziprozitätsgesetz".

    Grüße,
    Winfried
    • 12 Feb 2007, 1:20 pm
  • Dr. Andreas Ecker
    Dr. Andreas Ecker
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    Re^7: p-adischen Zahlen
    Hallo Winfried,

    es gibt natürlich auch noch eine abstrakte mengentheoretische Begründung, warum es p-adische Zahlen gibt, die nicht in Q liegen. Q ist abzählbar, die p-adischen Zahlen haben aber die Mächtigkeit der rellen Zahlen und sind daher überabzählbar.

    Grüße,
    Andreas
    • 12 Feb 2007, 9:54 pm
  • Dr. Maximilian Hasler
    Dr. Maximilian Hasler
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    Re^2: p-adischen Zahlen
    für x, y aus Q ist dann d(x,y): = n(y-x) eine Metrik, sogar eine Ultrametrik.]
     
    Gelernt: Ultrametrik heisst : bilden die Summanden einer Reihe eine Nullfolge, so ist die Reihe selbst eine Cauchy-Folge.
    Da bereits recht vollständige Antworten gegeben wurden, wollte ich nur nochmals auf ultrametrische Räume zurückkommen, die in der Tat lustige Eigenschaften haben.
    Wenn ich mich richtig erinnere:
    a) Offene (<r) und abgeschlossene (<= r) Kugeln sind beide sowohl offen als auch abgeschlossen.
    b) Die Menge der offenen Kugeln mit Radius r und Mittelpunkt in einer geschlossenen Kugel desselben Radius, bildet eine Partition (?) der letzteren, und die Entfernung zwischen zwei (nicht identischen) der offenen Kugeln ist wiederum gleich r.
    (Das letzte ist eine Konsequenz der Tatsache dass alle Dreiecke gleichschenklich sind.)

    Alles ziemlich schlecht vorstellbar...
    • 27 Nov 2007, 05:25 am