Mathematics / Mathematik / Matemática

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  • Dr. Walter Schmidt
    Dr. Walter Schmidt
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    Insurrance problem - distribution of storms
    Hello colleagues

    I am looking for a solution of the following problem of insurance mathematics:

    The loss frequency of an event is described by an integral distribution, like Poisson, Binominal or others.
    The amount of losses is distributed by a continuous distribution (lognormal, Gaussian, Pareto, ...).

    Example:
    The frequency of storms during a year is Poisson distributed. The amount of loss,
    caused by a single storm, is lognormal distributed.

    Problem:
    I want to compute the distribution of the total loss of burden. In our example: the distribution of costs which are caused by storms during a year.
    I m looking for an expression in closed form, which describes this distribution. I do not need an explicit formula, but one which can be evaluated numerically.

    In case of two continuous distributions, the solution is well known: an integral of the "faltungs-type".

    Up to now I solve this problem by means of Monte-Carlo simulation. This works well, but it seems to be a kind of mathematics without mathematics:in the following sense: I solve a problem, without understanding it exactly.

    Does anyone know a solution?

    Thanks for help
    Walter
    • 01 Nov 2006, 10:31 pm
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  • Günther Eibl
    Günther Eibl    Group moderator
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    Re^2: Insurrance problem - distribution of storms
    Hallo,

    ich denke, man könnte beim Beispiel die loss-Verteilung folgendermaßen schreiben (in LaTeX-Schreibweise):
    f(loss) = \sum_k P_l(k) S(loss|k)
    wobei
    - P_l(k) die diskrete Poissonverteilung zu Parameter l ist und
    - S(loss|k) die Summenverteilung von lognormal-Verteilungen ist, also S(loss|k) = X_1+...+X_k mit X~lognormal-Verteilung
    Ungünstigerweise muss S(loss|k) numerisch berechnet werden. Ich habe auf die Schnelle folgendes paper gefunden:
    http://www.merl.com/papers/docs/TR2005-099.pdf

    Für den allgemeinen Fall kann ich noch den Tip geben, sich Bücher über Bayes-sche Methoden anzuschauen, da werden auch Monte-Carlo Methoden zur Berechnung verwendet (Metropolis-Hastings-Algorithmen).

    Günther
    • 08 Jan 2010, 2:26 pm
  • Dr. Walter Schmidt
    Dr. Walter Schmidt
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    Re^3: Insurrance problem - distribution of storms
    Hallo Herr Eibl

    vielen Dank für die Antwort.
    Der Link hat mir etwas weiter geholfen. Die numerische Lösung ist kein Problem.
    Als Nicht-Statistker wollte ich wissen, ob sich die Statistik mit diesm Problem befasst hat. In Ihrem Link steht dazu der Satz:
    "Also, no effort was made to find the analytical expressions of the approximate distribution."

    Beste Grüße
    W. Schmidt
    • 08 Jan 2010, 3:19 pm
  • Ansgar Seyfferth
    Ansgar Seyfferth    Group moderator
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    Re: Insurrance problem - distribution of storms
    Hello Walter,

    I've bee working on similar issues in the past. May I ask you first on what kind of storms you work on? Tropical cyclones, extratropical storms like we have in our latitudes, etc.

    Best regards, Ansgar
    • 08 Jan 2010, 4:40 pm
  • Dr. Walter Schmidt
    Dr. Walter Schmidt
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    Re^2: Insurrance problem - distribution of storms
    Hello Ansgar

    I am working on a software which calculates the risk of insurrance. This is not restricted to particular event or large losses, like storms. We consider all kind of risks, like fire, water damage, earthquakes,...

    As far as i know, specialists provide sophisticated models about distribution of claims caused by storms in a area. But this is not my job. Those data are the input to my software.

    Best regards
    Walter
    • 08 Jan 2010, 8:10 pm
  • Ansgar Seyfferth
    Ansgar Seyfferth    Group moderator
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    Re^3: Insurrance problem - distribution of storms
    Hallo Walter.

    [Ich wechsele mal zur Deutschen Sprache, weil doch alle Teilnehmer dieser Debatte offensichtlich Deutschsprachig sind. Allerdings werde ich einige Anglizismen verwenden, für die mir die Deutschen Fachausdrücke unbekannt sind, da ich seit 15 Jahren in Madrid arbeite. Wenn sie mir jemand sagen kann, wäre ich dankbar :-]

    As far as i know, specialists provide sophisticated models about distribution of claims caused by storms in a area. But this is not my job. Those data are the input to my software.
    Genau so ein "Spezialist", der durch Auswertung historischer Daten Wahrscheinlichkeitsverteilungen als Input für die Software zur Errechnung der Versicherungsrisiken liefert, war ich vor inzwischen über 10 Jahren. Allerdings waren es nicht, wie hier erwähnt, Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Schäden direkt, sondern für physikalische Variablen des Sturms: je nach Fall entweder direkt die Windgeschwindigkeit, oder andere Variablen aus denen das Windgeschwindigkeitsfeld dann mittels eines Models ermittelt wurde.

    Mit diesem Input wurde dann eine Wind-Hazard-Curve (d.h maximale Windgeschwindigkeit vs. Return Period) erstellt, bzw. ein Hazard-Map (d.h. Hazard-Curve in Abhängigkeit der geographischen Position), aber auch nicht in geschlossener Form, sondern wie auch hier mittels einer Monte-Carlo Simulation, von mehreren Jahrhunderten virtueller Sturmaktivität.

    Das war dann soweit der naturwissenschaftliche Teil, der Schritt von Hazard zu Risk erfolgte dann mittels der (empirisch oder durch Strukturanalysis ermittelten) Vulnerability Curve, die jeder maximalen Windgeschwindigkeit einen Schaden zuordnet.

    Ist diese Vorgehensweise sehr unterschiedlich von der hier verwendeten? Ist ein Thema, das mich sehr interessiert, und mit dem ich mich gerne wieder beschäftigen würde ...

    Gruß, Ansgar.
    • 11 Jan 2010, 11:30 pm
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  • Ansgar Seyfferth
    Ansgar Seyfferth    Group moderator
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    Re^5: Insurrance problem - distribution of storms
    Die statistische Darstellung der einzelnen Phänomene ist hier aber leider alles andere als trivial, da die vorhandenen gemessenen Daten, je nach geographischer Lage, meist nur einigen Jahrzehnten abdecken, oder höchstens in der Größenordnung von einem Jahrhundert liegen. (Weiter zurückliegend gibt es bestenfalls - in Regionen mit einer langen kulturellen Geschichte - Berichte aus alten erhalten Chroniken aus Städten, Klöstern, etc., in denen über Verwüstungen berichtet wird, aus denen man dann Rückschlüsse über die Intensität des Sturms, Erdbebens, Überschwemmung, oder was auch immer, ziehen kann, die aber natürlich weder exakt noch vollständig sind.) Mit diesen Daten kann dann verlässlich abschätzen welche Windgeschwindigkeit (oder Erdbebenstärke, oder um was auch immer für Phänomen es geht) an einem gegebenen Ort durchschnittlich z.B. alle 5 oder 10 Jahre überschritten wird, aber die Extrapolation auf Werte die man durchschnittlich alle 100, 1.000 oder 10.000 Jahre zu erwarten hat, also die Wahrscheinlichkeit für - seltenen aber verheerende - Naturkatastrophen, ist sehr schwierig und setzt außer statistischen Methoden eine Kentniss der Phänomene selbst voraus.

    Diese Ereignisse sind aber für das Risiko = Schaden x Wahrscheinlichkeit äußerst relevant, denn auch wenn der zweite Faktor sehr gering ist, ist der erste astronomisch! So hat z.B. 1992 der Hurricane Andrew 11 Versicherungsgesellschaften in den USA zum verschwinden gebracht. Meist werden solche Risiken rückversichert, d.h. es sind die - zwecks Risikostreuung weltweit operierenden - Rückversicherungsgesellschaften, die sich meist für diese statistischen Modelle interessieren.

    Auch für Baustandards sind diese Daten übrigens wichtig: wenn z.B. festgelegt wird welche Erdbebenstärke ein Kernkraftwerk oder Flüssigerdgasdepot völlig ohne Schaden zu überstehen hat, und welche Stärke ohne die Verursachung einer Katastrophe, dann werden diese Werte in der Regel nicht direkt festgelegt, sondern über die entsprechende Return Periods, so dass dann erstmal für den jeweiligen Bauort abgeschätzt werden muss, welche Erdebenstärke durchschnittlich z.B. alle 500 oder alle 10.000 Jahre zu erwarten ist, um dann das Gebäude dementsprechend zu designen.

    Viele Grüße, Ansgar.
    • 13 Jan 2010, 12:04 pm
  • Dr. Walter Schmidt
    Dr. Walter Schmidt
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    Re^6: Insurrance problem - distribution of storms
    Hallo Her Seyfferth

    da haben Sie natürlich recht. Die Datenlage ist recht dünn. Zum Beispiel erwartet man in Baden-Württemberg alle 200 Jahre ein Erdbeben mit Gebäudeschäden. Hier kann man zwar die Schadenzahl-Verteilung schätzen, aber wie sieht es mit der Schadenhöhe aus? Und dann gibt es auch noch Versicherungen ohne Daten. Wie würden etwa Prämien für einen Papstbesuch in Deutschland oder die Fußballweltmeisterschaft in Südafrika berechnen?

    Ich habe es da etwas einfacher. Ich arbeite an einem Programm für Rückversicherer, dass das Risikokapital des Erstversicherers berechnet. Hier müssen also keine Prämien für bestimmte Ereignisse, z.B. Stürme in Kalifornien, berechnet werden, sondern man betrachtet alle Sturmversicherungen des Erstversicheres. Dafür genügen grobere Modelle.

    Beste Grüße
    W. Schmidt
    • 13 Jan 2010, 1:39 pm